专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一)-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题04 构造法求数列通项的八种技巧(一) 【必备知识点】 ◆构造一:待定系数之型构造等比数列 求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为,再利用待定系数法求出的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数,构造成等比数列.常数的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来. 【经典例题1】已知满足,求数列的通项公式. 【经典例题2】已知数列中,,,求数列的通项公式. 【经典例题3】已知数列中,,,求数列的通项公式. 【练习1】数列中,,设其前项和为,则 A. B. C. 15 D. 27 【练习2】已知数列的前项和为,若,则 A. B. C. D. 【练习3】在数列中,,则_______. 【练习4】已知数列满足,则数列的通项公式=______. 【练习5】已知数列的首项,且,则数列的前10项的和为______. 【练习6】已知数列中,,则_______. ◆构造二:待定系数之型构造等比数列 求关于类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项再构造等比数列就可以,即令,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,从而得到是公比为的等比数列. 【经典例题1】设数列满足,,求数列的通项公式. 【经典例题2】已知:,时,,求的通项公式. 【练习1】已知数列是首项为. (1)求通项公式; (2) 求数列的前项和. 【练习2】已知数列和的前项和,对于任意的是二次方程的两根. (1)求和通项公式; (2)的前项和. 【练习3】设数列是首项为,满足.问是否存在,使得数列成等比数列? 若存在,求出的值,若不存在,说明理由; ◆构造三:待定系数之型构造数列 求关于(其中均为常数,)类型的通项公式时,共有3种方法. 方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为,根据对应项系数相等求出的值,再利用换元法转化为等比数列求解. 方法二:先在递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用待定系数法解决； 方法二:也可以在原递推公式两边同除以,得,引入辅助数列(其中),得,再利用叠加法(逐差相加法)求解. 【经典例题1】已知数列中,求的通项公式. 【经典例题2】已知数列满足,求数列的通项公式. 【练习1】已知数列满足.设,若对于,都有恒成立,则的最大值为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 9 【练习2】已知数列满足. (1)判断数列是否为等差数列,并说明理由; (2)记为数列的前项和,求. 【过关检测】 一、单选题 1．已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（       ） A． B． C． D． 2．已知数列中，，，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则的值为（       ） A． B． C． D． 4．设数列的前n项和为，若，则（       ） A． B． C． D． 5．在数列中，，且，则的通项为（       ） A． B． C． D． 6．数列中，，，则（       ） A． B． C． D． 7．数列满足，且，若，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 8．已知数列中，，（且），则数列通项公式为（       ） A． B． C． D． 9．数列满足且，则此数列第5项是（       ） A．15 B．255 C．16 D．63 10．在数列中，已知，，则（       ） A． B． C． D． 11．在数列中，，，若，则n的最小值是（       ） A．8 B．9 C．10 D．11 12．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（ ） A．5－3n B．3·2n－1－1 C．5－3n2 D．5·2n－1－3 13．在数列中，若，，则（       ） A． B． C． D． 14．已知在数列中，，，则（       ） A． B． C． D． 15．数列满足，若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 二、填空题 16．设数列满足，且，则数列的通项公式为___________. 17．已知数列中，，，则通项______； 18．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1. (n∈N*).数列{an}的通项公式为______． 19．数列满足，且，则_________. 20．已知数列满足，且前8项