专题03 累加法累乘法求数列通项-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题03 累加法累乘法求数列通项 【必备知识点】 ◆累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法. 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 【经典例题1】已知数列满足，对任意的都有，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由得：， ，，，…，， 各式作和得：， ，. 故选：C. 【经典例题2】已知数列满足，，则（       ） A．30 B．31 C．22 D．23 【答案】B 【解析】 因为数列满足，， 所以，，，， 所以， 所以， 故选：B 【经典例题3】已知数列满足，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵，， ∴. 故选：C. 【练习1】已知数列{}满足，，则数列{}第2022项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：由.得， 又，可得 所以，，，……， ，将上式相加得 ， 故选：A. 【练习2】已知数列满足则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为所以 累加得：， 所以. 故选：D 【练习3】已知数列满足则求___________ 【答案】 【解析】 ∵ ∴ ∴, , , … ， 将以上99个式子都加起来可得， . 故答案为：. 【练习4】数列中，，则__________. 【答案】## 【解析】 因为，所以， 则当时， ，将个式子相加可得 ，因为，则， 当时，符合题意，所以. 所以 故答案为：. 【练习5】已知数列满足，且，若，n为正整数，则数列的前n项和__________． 【答案】 【解析】 由题意， 所以， ． 故答案为：． 【练习6】若数列是等比数列，且，，，则________． 【答案】 【解析】 解：数列是等比数列，且，，， 数列的公比， ， 所以 ． 故答案为：． ◆累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 【经典例题1】已知，，则数列的通项公式是（       ） A． B． C． D．n 【答案】D 【解析】 由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，所以， 又，符合上式，所以. 故选：D． 【经典例题2】若数列满足，则（       ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【解析】 由得， ， . 故选：D 【经典例题3】设是首项为的正项数列，且（），则它的通项公式是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， ， , 又，，即， ， 即， 又，， ， 故选：B． 【经典例题4】已知数列满足，且，则(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 数列满足，且， ∴，， ∴，，，， 累乘可得：， 可得：． 故选：D﹒ 【练习1】若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（       ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【解析】 解：由，得， 所以 因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28. 故选：A 【练习2】已知数列满足，(，)，则数列的通项（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：数列满足，， 整理得，，，， 所有的项相乘得：， 整理得：， 故选：． 【练习3】数列满足：，，则的通项公式为_____________. 【答案】 【解析】 由得，， 则， 即，又，所以. 故答案为：. 【练习4】已知数列，满足，，，的前n项和为，前n项积为．则______． 【答案】 【解析】 因为，，故，依次有 根据可得， 故 . 由可得， 从而， 故， 故答案为：. 【练习5】在数列中，，，则数列的通项公式___________. 【答案】 【解析】 因为，， 所以，所以当时，， 所以 （） 当，满足上式， 所以. 故答案为： 【练习6】已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则________． 【答案】 【解析】 因为， 所以时，，即， 化简得，又， 所以， 检验时也成立， 所以， 所以， 故答案为：. 【过关检测】 一、单选题 1．数列满足，且对任意的都有，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 已知，令可得，则时，， ，，将以上式子累加可得，则，时也符合， 则，，则 . 故选：A. 2．已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 所以，，，……，， 所以， 因为， 所以， 故选：B