专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三)-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题06 构造法求数列通项的八种技巧(三) 【必备知识点】 ◆构造六:取对数构造法 型如,或者为常数. 针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题. 【经典例题1】数列中, ,,求数列的通项公式. 【解析】 取以为底的对数(不能取为底,因为,不能作为对数的底数),得到,,设,则有,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,. 【经典例题2】数列中,,,求数列的通项公式. 【解析】 取以为底的对数(这里知道为什么不能取为底数的对数了吧),得到,,设,则有,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出,所以是以为首项,2为公比的等比数列,所以,所以,,. 【经典例题3】已知,点在函数的图像上,其中,求数列的通项公式. 【解析】 将代入函数得,,即 两边同时取以3为底的对数,得(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为,,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以是以1为首项,2为公比的等比数列,即,,. 【经典例题4】在数列中, ,当时,有,求数列的通项公式. 【解析】 由,得,即,两边同取以3为底的对数,得,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,,,即. ◆构造七:二阶整体构造等比 简单的二阶整体等比:关于的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为,利用成等比数列,以及叠加法求出.还有一小部分题型可转化为,利用成等比数列求出. 【经典例题1】已知数列满足,求数列的通项公式. 【解析】 由,故是以为首项,2为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加得:,所以. 【经典例题2】已知数列中,,,,求数列的通项公式。 【解析】 由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法啦,全部相加,利用等比数列求和得:,. 【经典例题3】数列中,,,,求数列的通项公式。 【解析】 由,故是以为首项, 为公比的等比数列,即,接下来就是叠加法,全部相加,利用等比数列求和得:,. 此方法可以解决大多数的,模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法. 【经典例题4】已知数列满足,,,求数列的通项公式. 【解析】 看到这道例题,当我们希望通过构造为等比数列时,我们发现原式并不能转化成等比结构的形式.所以此例题我们需要引入两个系数,通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得,所以构造为首项为2,公比为2的等比数列,所以,即,这就回到了熟悉的型.下面的操作就看你们的了. 【经典例题5】已知数列满足,,,求的通项公式. 【解析】 通过构造成等比来解决.设原等式,打开得到,对应项系数相等,解得或,我们发现解出两组结果,没关系,都是成立的,可以构造首项为,公比为的等比数列或构造为首项为1,公比为2的等比数列.我们都来尝试下. 构造一: ,即,这就回到了熟悉的型,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即. 构造二: ,即 ,设,待定系数法得,则数列是首项为,公比为的等比数列,所以,即. 秒杀求法: 类通项公式暴力秒杀求法 对应的特征方程为:,设其两根为 当时, 当时, 其中,的值的求法,用的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可 【秒杀例题1】已知数列满足,,,求的通项公式. 【解析】 ,对应的特征方程为:,解得两根为,,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即 ,解得,代入化简得. 【秒杀例题2】已知数列满足,,,求数列的通项公式. 【解析】 ,对应的特征方程为:,解得两根为,设所求数列通项公式为,把,代入上面的通项公式中,建立方程组解,,即 解得,代入化简得. 【练习1】在数列中,,则_______. 【答案】 【解析】 , , 即, 数列是首项为1,公比为2的等比数列, , 由累加法可得, , 【练习2】设数列的前项和为.已知,且当时, . (1)求的值； (2)证明：为等比数列 ; (3)求数列的通项公式. 【答案】 【解析】当时,,即 解得:; (2)证明: 即, 数列是以为首项,公比为的等比数列; (3)由(2)知,是以为首项,公比为的等比数列, 即, 是以为首项,4为公差的等差数列,,即 数列的通项公式是 【练习3】数列满足. (1)设,证明是等差数列; (2)求的通项公式. 【答案】 【解析】 (1)证明:,,