第11章 简单几何体（基础、典型、易错、新文化、压轴）分类分项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）

第11章 简单几何体（基础、典型、易错、新文化、压轴） 分类专项训练 【基础】 一、填空题 1．（2021·上海市吴淞中学高二阶段练习）若一个球的体积为，则该球的表面积为_________． 【答案】 【详解】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为. 2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在长方体中，，，，则=___________ 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线公式求解. 【详解】因为在长方体中，，，， 所以， 故答案为： 3．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=__． 【答案】 试题分析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为． 在直角三角形ODA中，因为，所以．则． 考点：异面直线及其所成的角 点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题 4．（2021·上海市大同中学高二期末）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______． 【答案】 试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：． 考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质． 5．（2021·上海交大附中高二期末）已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π． 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl. 6．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 【答案】 【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可. 【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力. 7．（2016·上海·位育中学高二期中）已知球的半径为25,有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49和400,则这两个平行平面间的距离为___________ 【答案】9或39 【分析】先根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可. 【详解】解：设两个截面圆的半径别为，球心到截面的距离分别为.球的半径为. 由，得. 由，得. 如图①所示.当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即. 如图②所示.当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和. 即. 故答案为：9或39. 【点睛】本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题.此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力.本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解. 8．（2021·上海·高二专题练习）正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为，则它的侧面积为________． 【答案】 【分析】设底面边长为，求出斜高和底面三角形的高，从而得底面积、侧面积，得出结论． 【详解】如图，正三棱锥，两两垂直，设为中点，则，， 又，所以，，， 所以侧＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查棱锥的侧面积，掌握正棱锥的性质是解题关键． 9．（2020·上海·曹杨二中高二期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______________公里. 【答案】18 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】如图，展开圆锥的侧面，过点作的垂线，垂足为， 记点为上任意一点，联结，， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的，， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 由，得. 故答案为：18 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图、解三角形，考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力，属基础题. 10．（2021·上海·位育中学高二期中）在平面上，将曲线与轴围成的封闭图形记为，记绕轴旋转一周而成的几何体为，试构造圆柱与倒立的圆锥，利用祖暅原理得出的体积值为______