4.5 函数的应用（二）-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

4.5 函数的应用（二） 目标导航 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． 4.了解二分法的原理及其适用条件. 5.掌握二分法的实施步骤. 6.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 7.能利用已知函数模型求解实际问题. 8.能自建确定性函数模型解决实际问题. 9.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性． 知识解读 知识点一　函数的零点 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 【答案】f(x)＝0 知识点二　函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 【答案】连续不断 f(a)f(b)<0 f(c)＝0 知识点三　二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【答案】f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 知识点四　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间 (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点． (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c. (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 知识点五　几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点六　应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． 3．求模——求解数学模型，得出数学模型． 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 跟踪训练 一、单选题 1．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可将函数的零点转化为函数、、与的交点的横坐标，画出函数图象，结合图象即可判断； 【详解】解：依题意令，即， 同理可得，， 则函数的零点转化为、、与的交点的横坐标， 在平面直角坐标系上画出函数图象如下： 由图可得，，，即. 故选：D 2．若函数唯一的一个零点同时在区间，，内，那么下列命题中正确的是（       ） A．函数在区间内有零点 B．函数在区间或内有零点 C．函数在区间上无零点 D．函数在区间内无零点 【答案】C 【分析】题目中所给的零点所在区间的交集为，但零点与的大小未知，结合选项可得答案． 【详解】由题意，函数唯一的一个零点在内，则函数在上无零点，但零点与的大小未知，排除A，B ，D选项，故选：C 3．已知函数，若且，则（       ） A． B． C． D．随值变化 【答案】B 【分析】作出函数的图象得其对称轴是，由对称性可得结论． 【详解】函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的图象关于直线对称， 又，且， 则． 故选：B 4．若函数有两个零点，则整数a的值共有（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．17个 【答案】A 【分析】先判断出函数在R有两个零点为和，由a的范围求出符合题意的整数a. 【详解】因为方程在R上有且仅有一解， 所以要使函数在R有两个零点, 只需在R上有且仅有一个解,同时该解不能为. 因为在R上值域为(0,+∞