4.4 对数函数-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

4.4 对数函数 目标导航 1.理解对数函数的概念. 2.会求与对数函数有关的定义域问题. 3.初步掌握对数函数的图象和性质. 4.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. 5.了解反函数的概念及它们的图象特点． 6.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法 7.会解简单的对数不等式． 8.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 9.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义. 10.能根据具体问题选择合适函数模型． 知识解读 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ． 【答案】y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) 知识点二　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈ x∈(0,1)时， y∈ ； x∈[1，＋∞)时， y∈ 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于 对称 【答案】(0，＋∞) (1,0) (－∞，0) (0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0] x轴 知识点三　反函数 指数函数 (a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 【答案】y＝ax 知识点四　对数型函数的性质及应用 1．y＝logaf(x)型函数性质的研究 (1)定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域． (2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域． (3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定) (4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定． (5)最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值． 2．logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 (1)讨论a与1的关系，确定单调性． (2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零． 知识点五　三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝logax (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随x的增大匀速上升 增长速度 y＝ax的增长 y＝kx的增长，y＝kx的增长 y＝logax的增长 增长后果 会存在一个x0，当x>x0时，有 【答案】单调递增 单调递增 单调递增 快于 快于 ax>kx>logax 跟踪训练 一、单选题 1．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 2．设，，则下列叙述正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用函数的单调性分析判断即可 【详解】因为和在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以时，得，反之也成立， 即时，，反之也成立， 所以时，，反之也成立， 故选：A 3．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负求解即可 【详解】由题意得，得， 所以函数的定义域为， 故选：A 4．函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由偶函数得，再比较的大小，结合单调性即可求解. 【详解】由偶函数知，又，，， 显然，又在单调递增，则. 故选：C. 5．已知函数，，则图像交于两点，则（