4.3 对数-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

4.3 对数 目标导航 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化. 3.会求简单的对数值． 4.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 5.掌握换底公式及其推论. 6.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值． 知识解读 知识点一　对数的概念 1．对数的定义： 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做真数． 2．常用对数与自然对数 【答案】x＝logaN 真数 知识点二　对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝ . (2)对数恒等式：＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1，N>0)． 【答案】x N x 知识点三　对数的性质 1．loga1＝ (a>0，且a≠1)． 2．logaa＝ (a>0，且a≠1)． 3．零和负数 ． 【答案】0 1 没有对数 知识点四　对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点五　换底公式 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)． (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 跟踪训练 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数和指数的运算法则逐项计算即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 2．下列等式中，正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可. 【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，正确. 故选：D. 3．已知,，则的值约为（精确到）（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解. 【详解】. 故选：B 4．某品牌计算器在计算对数时需按“log（a，b）”．某生在计算时（其中且）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，然后利用换底公式化简可求得结果 【详解】解：由题， ∴，即， 由于且， ∴，即． 故选：C 5．计算：（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得； 【详解】解： ； 故选：B 6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，h称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：，，）（       ） A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟 【答案】C 【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解. 【详解】解：由题意，℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得， 所以， 又水温从75℃降至55℃，所以，即， 所以， 所以， 所以水温从75℃降至55℃，大约还需要分钟. 故选：C. 7．已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由换底公式和对数运算法则进行化简计算. 【详解】由换底公式得：，，其中，，故 故选：C 8．科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中.当时，.若一个正整数的16次方是12位数，则是（       ）（参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意得，进而结合题意得，再根据得，进而得. 【详解】解:由题意可设， 因为正整数的16次方是12位数，所以，所以， 因为，所以，所以，则， 又.78，所以. 故选：B 二、多选题 9．若，，则（        ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据对数的运算性质逐一运算即可得出答案. 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对