4.2 指数函数-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

4.2 指数函数 目标导航 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用． 3.掌握指数函数的图象和性质. 4.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域． 5.能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题. 6.能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题. 7.会求与指数函数有关的复合型函数的单调性问题． 知识解读 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 【答案】y＝ax 知识点二　两类指数模型 1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型． 【答案】a>1 0<a<1 知识点三　指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝ 函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时， 当x>0时， ； 当x<0时， 单调性 在R上是 在R上是 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 【答案】(0，＋∞) (0,1) 0 1 0<y<1 0<y<1 y>1 y>1 增函数 减函数 知识点四　比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 【答案】指数函数 幂函数 中间值 知识点五　解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解． (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 知识点六　指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 ． 【答案】相同 相同 相反 跟踪训练 一、单选题 1．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案. 【详解】解：是增函数，故， 而，故. 故选：A. 2．如图所示，函数的图像是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】， 时，时，. 故选：B. 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数": 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如: ，已知，则函数 的值域为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解函数的值域，在根据高斯函数的定义确定的值域. 【详解】解：因为，所以，则，所以函数的值域为，故的值域为-1或0. 故选：B 4．已知函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入对应解析式即可. 【详解】当时，，. 故选：C. 5．已知，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用指数函数单调性判断B作答. 【详解】取，满足，显然有、、成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数在R上单调递增，若，则必有，B正确. 故选：B 6．若，则a､b､c的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以，即 故选：A 7．非零实数a，b满足，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于选项A、B、C，举反例可判断，对于选项D，根据不等式的性质和指数函数的单调