4.1 指数-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

4.1 指数 目标导航 1.理解n次方根、根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简求值． 3.通过对有理数指数幂 (a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 知识解读 知识点一　n次方根，根式 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 ． 【答案】n次方根 根指数 被开方数 知识点二　根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1) 没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝ . (3)()n＝ (n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 【答案】负数 0 a 知识点三　分数指数幂 1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 3．0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ． 【答案】0 没有意义 知识点四　有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 知识点五　无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【答案】实数 跟踪训练 一、单选题 1．化简 (a>0)等于（       ） A．6a B．－a C．－9a D．9a2 【答案】C 【分析】根据指数运算法则进行运算. 【详解】 故选：C 2．下列各式中成立的一项（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 3．若，则的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边同时平方，化简即可得出结果. 【详解】， 而， 故选：. 4．若 ，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】取，满足，而无意义，即不能推出； 若，则必有，即成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．已知，则化为（       ） A． B． C．m D．1 【答案】C 【分析】把根式化为分数指数幂进行运算． 【详解】，. 故选：C． 6．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答. 【详解】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 7．设a，b为正实数，，，则（       ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】根据，，得到，求得a即可. 【详解】解：因为， 所以， 即， ∴，， ∴， 故选：C． 8．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可. 【详解】 ，即 ， ， . 故选：A . 二、多选题 9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（       ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】CD 【分析】根据根式与分数指数幂的互化的知识确定正确选项. 【详解】对于A选项，，所以A选项错误. 对于B选项，，所以B选项错误. 对于C选项，，，所以C选项正确. 对于D选项，，，所以D选项正确. 故选：CD 10．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（       ） A． B． C．) D． 【答案】BD 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项. 【详解】A选项，由于，所以，A选项错误. B选项，正确，B选项正确. C选项，，C选项错误.