3.3 幂函数-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 目标导航 1.了解幂函数的概念. 2.掌握y＝xα的图象与性质. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题． 知识解读 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【答案】y＝xα 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝ ；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) 值域 R R 奇偶性 单调性 增 在[0，＋∞)上 ，在(－∞，0]上 在(0，＋∞)上 ，在(－∞，0)上 【答案】{x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) [0，＋∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ． 2．当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ． 3．当 时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列． 【答案】(1,1) 原点 递增 下凸 上凸 α<0 小 大 跟踪训练 一、单选题 1．幂函数在上单调递减，则实数m的值为（       ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】A 【分析】依据题意列出关于实数m的方程即可求得实数m的值. 【详解】因为是幂函数， 故，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以需要， 则 故选：A 2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断； 【详解】根据幂函数的性质， 在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得：， 故选：D 3．函数的单调递减区间是（       ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】根据的图象以及函数单调性的定义即可判断. 【详解】函数的图象如图：所以 的减区间是，不是. 函数在上是减函数，在上也是减函数， 但不能说函数在上是减函数． 因为当时有，不满足减函数的定义． 故选:C 4．若幂函数在上单调递增，则（       ） A．1 B．6 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解. 【详解】∵幂函数在上单调递增， ∴，解得， 故选：D． 5．任意两个幂函数图象的交点个数是（       ） A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个 C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个 【答案】A 【分析】利用幂函数的图象和性质判断. 【详解】解：因为所有幂函数的图象都过， 所以最少有个交点， 如图所示： 当函数为和时，它们有个交点， 故选：． 6．若幂函数的图像经过点，则下列结论正确的是（       ） A．为奇函数 B．若，则 C．为偶函数 D．若，则 【答案】D 【分析】设出幂函数，代入点坐标求出幂函数，求出定义域从而判断出AC选项，通过计算判断B选项，D选项利用作差法比较大小. 【详解】设，将代入得：，解得：，所以，定义域为，故不是奇函数也不是偶函数，AC错误； 因为，所以，，B错误； ，，由于，则 ，故，D正确. 故选：D 7．下列不等式成立的是（       ） A．若a＜b＜0，则a2＜b2 B． C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则 【答案】D 【分析】由不等式的性质及幂函数的性质对各个选项进行分析可得正确答案. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，函数为增函数，故，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，，所以 所以，即成立，故D正确． 故选：D． 8．已知，则函数的