3.2 函数的基本性质-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

3.2 函数的基本性质 目标导航 1.了解函数的单调区间、单调性等概念. 2.会用定义证明函数的单调性． 3.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 4.会借助单调性求最值. 5.了解函数奇偶性的定义，掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 6.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 7.掌握用奇偶性求解析式的方法. 知识解读 知识点一　增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 函数 【答案】增 减 知识点二　函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【答案】单调递增或单调递减 (严格的)单调性 知识点三　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x) M f(x) M ∃x0∈I，使得 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的 【答案】≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 知识点四　求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ， 　ymin＝ ． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ， 　ymin＝ ． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 【答案】f(b) f(a) f(a) f(b) 知识点五　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 【答案】f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 知识点六　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点七　函数的奇偶性与单调性 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上 ，即在对称区间上单调性 ． 【答案】单调递增 一致(相同) 单调递减 相反 跟踪训练 一、单选题 1．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【分析】除三角函数外，也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式. 【详解】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即 所以. 故选：A. 2．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（       ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可. 【详解】A选项：设，，则为偶函数，A错误； B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误； C选项：设，则，则为奇函数，C正确； D选项：设，则，则为偶函数，D错误． 故选：C. 3．函数的单调增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间. 【详解】 的图象是由的图象沿轴向右平