3.1 函数的概念及其表示-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

3.1 函数的概念及其表示 目标导航 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 3.会判断两个函数是否为同一个函数. 4.能正确使用区间表示数集. 5.会求一些简单函数的值域． 6.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 7.掌握求函数解析式的常见方法. 8.会用解析法及图象法表示分段函数. 知识解读 知识点一　函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 【答案】实数集 任意一个数x 唯一 x 知识点二　区间 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 知识点三　同一个函数 1．前提条件：(1)定义域 ；(2)对应关系 ． 2．结论：这两个函数为同一个函数． 【答案】相同 相同 知识点四　常见函数的值域 1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 知识点五　函数的表示法 知识点六　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【答案】对应关系 并集 空集 跟踪训练 一、单选题 1．函数中，自变量x的取值范围是（       ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可. 【详解】由题意知， ，解得， 即函数的定义域为. 故选：B 2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（       ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论. 【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集 ①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示， ④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合． ⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的， 故只有⑤可以，区间形式为， 故答案为：D. 3．下列变量与的关系式中，不能构成是的函数关系的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】对A，由得是函数关系； 对B，由，得是函数关系； 对C，由，得，此时值不唯一，不是函数关系； 对D，由，得是函数关系， 故选：C 4．已知函数，若，则实数a＝（       ） A． B． C．2 D．9 【答案】C 【分析】由函数的解析式可得，求解可得答案． 【详解】函数， ，则， 即，解可得：. 故选：C 5．下面各组函数中是同一函数的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案. 【详解】A．函数的定义域为，， 两个函数的对应法则不相同，不是同一函数， B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数 C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数 D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数， 故选：C． 6．某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件及排除法即可求解. 【详解】当时，距离单位最远，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，则随的变化慢，排除B， 故选：D． 7．已知，则有（       ） A． B． C． D． 【答案】B