第1章 微专题系列3 数学探究——基本不等式与其他知识的综合（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

微专题系列之数学探究——基本不等式与其他知识的综合 (1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是________． (2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________． [思维过程] 明确目标→两题均为求代数式的最小值． 提取信息→(1)直线过圆心；(2)数列为等差数列且已知首项和公差均为1. 建立联系→(1)由直线过圆心，得到定值1＝b＋c；(2)结合等差数列的首项和公差求得其前n项和及通项公式，进而得到关于n的代数式． 规范解答→(1)圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1．因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.因为b，c>0，所以＋≥2＝4，当且仅当b＝2c，即b＝，c＝时，取等号，所以＋的最小值为9. (2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝(n＋＋1)≥(2＋1)＝， 当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是. 答案：(1)9　(2) 方　法　规　律 与其他知识交汇的最值问题的解题策略 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： (1)先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点； (2)用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意识； (3)检验等号是否成立，完成后续问题． 练　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为9． 解析：(方法一)依题意画出图形，如图所示． ∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即csin 60°＋asin 60°＝acsin 120°，∴a＋c＝ac，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”． (方法二)以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(1，0)．由题意知，AB＝c，BC＝a，∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴A(，c)，C(，－a)． ∵A，D，C三点共线，∴∥， ∴(1－)(－a)＋c(－1)＝0， ∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即a＝，c＝3时取“＝”． 学科网（北京）股份有限公司 $