第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　 1　理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2　理解全称量词与存在量词的意义. 知识梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件． (2)如果q⇒p，则p是q的必要条件． (3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件． (1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA．(2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． 2．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 3.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，﹁p(x) 存在量词命题 存在M中的一个x，使p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 学霸笔记 1．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 2．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)x>2(小范围)． 3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”． 进阶诊断 1．判断正误 (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　√　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　√　) (4)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题．(　√　) (5)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　√　) 2．(必修第一册·P34T5改编)“a>b”是“a2>b2”的(　D　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(多选)(必修第一册·P35T6改编)下列命题为真命题的是(　ABD　) A．任意实数的平方大于或等于0 B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称 C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3 D．存在一个无理数，它的立方是有理数 4．(必修第一册·P35T7(1)改编)命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定为∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根． 5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(－∞，2]． 6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为1． 解析：∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1，∴m的最小值为1. 　充分、必要条件的判断 自主练通 1．(2021·天津南开中学高三月考)设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：绝对值不等式<⇔－<x－<⇔0<x<1，由x3<1⇔x<1.显然{x|0<x<1}{x|x<1}，据此可知<是x3<1的充分不必要条件． 2．(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件． 3．王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(　D　) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 解析：非有志者不能至也，可知能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的人必须有志，而有志者是未必能达“奇伟、瑰怪，非常之观”的，因此“有志”是“能至”的必要不充分条件． 4．(多选)下列说法正确的是(　BC　) A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件 B．“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件 C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 解析：c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；＞与a＜b相互不能推导，如a＝2，b＝－1时，满足＞但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜