第1章 第1节 集合（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　集　合 1　了解集合的含义及特征，理解元素与集合的属于关系. 2　理解集合间的基本关系. 3　理解并掌握集合的基本运算. 知识梳理 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A. (2)真子集：若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． ∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确． 3．集合的基本运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同. 学霸笔记 1．集合子集的个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． 2．集合基本运算的常见性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 3．在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如A⊆B，则要考虑A＝∅和A≠∅两种可能． 进阶诊断 1．判断正误 (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　×　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　×　) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　√　) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　×　) 2．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为(　D　) A．{－1} B．{1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 3．已知集合A＝{x|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|y＝x2－1}，则A∩B＝(　D　) A．R B．{x|y2＝x2－1} C．{(x，y)|y＝x2－1} D．∅ 4．(必修第一册·P14T1改编)集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝(　B　) A．{x|2≤x<4} B．{x|3≤x<4} C．{x|2<x<4} D．{x|3<x<4} 5．集合{x∈R|x3＝x}共有7个真子集． 解析：由x3＝x，得x(x＋1)(x－1)＝0，∴x＝0，x＝1或x＝－1，故集合{x∈R|x3＝x}＝{－1，0，1}，共有23－1＝7(个)真子集． 6．(必修第一册·P14T4改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}. 　集合的含义与表示 自主练通 1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　D　) A． B． C．0 D．0或 解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝. 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　A　) A．9 B．8 C．5 D．4 解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个． 3．已知集合A＝{x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有3个元素，则(　B　) A．k≥16 B．k>16 C．k≥8 D．k>8 解析：由集合A中至少有3个元素，得log2k>4，解得k>16. 4．已知a，b∈R，若＝{a2，