专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】 专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）：等边三角形 【名师点睛】 1.等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 2.等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例剖析】 【例1】（2020秋•赣榆区期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【变式1】（2021秋•玄武区期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE． 【例2】（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE． （1）求∠CAE的度数； （2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形． 【变式2.1】（2019秋•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点． （1）求证：△BED是等腰三角形： （2）当∠BCD＝　 　°时，△BED是等边三角形． 【变式2.2】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【满分训练】 一．选择题（共10小题） 1．（2019秋•盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．30 C．18 D．12 2．（2022春•江都区校级月考）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（　　） A．80° B．70° C．45° D．30° 3．（2021秋•鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（　　） A．点E在AB的垂直平分线上 B．点E到AB、BC、AC的距离相等 C．点E是AD的中点 D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C 4．（2021秋•崇川区校级月考）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2021秋•鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（　　） A． B． C． D． 6．（2021秋•如皋市期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．（2021秋•新吴区期中）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小 8．（2019秋•玄武区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　） A．1 B．3 C．2 D．4 9．（2015秋•北塘区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则