专题2.5等腰三角形的轴对称性（1）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】 专题2.5等腰三角形的轴对称性（1）：等腰三角形 【名师点睛】 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 2.等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【典例剖析】 【例1】（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　 　． （2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　 　． （3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明． 【变式1】．（2018秋•宜兴市期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． （1）求证：BE＝CE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC． 【例2】（2020秋•仪征市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D． （1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明； （2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由． 【变式2】（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：△ACD为等腰三角形． 【满分训练】 一．选择题（共10小题） 1．（2022春•无锡期末）在△ABC中，∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．160° 2．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 3．（2022•崇川区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（　　） A．30° B．40° C．70° D．75° 4．（2022•高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（　　） A．0＜x＜32 B．0＜x＜16 C．8＜x＜16 D．8＜x＜32 5．（2021秋•梁溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　） A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm 6．（2021秋•滨湖区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 7．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2021秋•苏州期中）如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2018秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2020秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当∠A大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关