3.3 幂函数-2022-2023学年高一数学新教材同步题型+能力+素养练（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 一维练基础 题型一：求幂函数的值域与解析式 1．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（       ） A．R B． C． D． 【答案】C 【点拨】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域. 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，则， 故的定义域为． 故选：C 2．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】根据幂函数的定义排除A； 是非奇非偶的函数，所以排除B; 是偶函数，所以排除C； ，既是幂函数，又是奇函数，所以选D. 【详解】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A； 的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B; 是偶函数，所以排除C； ，既是幂函数，又是奇函数，所以选D. 故选：D. 3．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（       ） A． B．4 C．8 D． 【答案】D 【点拨】设幂函数，由题设条件可求，从而可求的值. 【详解】设幂函数，幂函数的图象经过点，所以， 解得，所以，则． 故选：D. 4．已知幂函数的图象过点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】设，由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，由此可求得的值. 【详解】设，由，可得，则，因此，. 故选：B. 5．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】根据幂函数的图象经过点求解. 【详解】解：因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以． 故选：A 题型二：幂函数的定义域 1．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（       ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 【答案】C 【点拨】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【详解】幂函数为偶函数， ，且为偶数， 则实数， 故选：C 2．设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的 的值的个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】根据幂函数的图象和性质，对值一一验证即可得解. 【详解】当时，的定义域为 ， 在上单调递减，不满足； 当时，的定义域为，不具奇偶性，不满足； 当时，的定义域是R，是偶函数，不满足； 当时，的定义域是R，是奇函数，并且在上单调递增，满足； 当时，的定义域是R，是奇函数，并且在上单调递增，满足， 所以使幂函数为奇函数且在上单调递增的 的值的个数是2. 故选：B 3．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】由函数解析式即得. 【详解】要使函数有意义，则 ∴，即. 故选：C. 4．在下列四组函数中，表示同一函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【点拨】根据同一函数的定义，逐一判断两函数的定义域及对应关系是否都相同，即可得出答案. 【详解】解：对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域及对应关系都相同，所以表示同一函数； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数. 故选：B. 5．函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 题型三：幂函数的值域 1．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 2．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】幂函数的图像过点， ，解得， ， 的值域是. 故选：D. 3．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（       ） A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数 C．的值域为 D．在定义域内有最大值 【答案】B 【详解】设，则，解得， ， 的定义域为，故A错误；可得在定义域上是单调递增函数，故B正确；值域为，故C错误；故在定义域内没有最大值，故D错误. 故选：B. 4．函数在区间上的最小值是（       ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【点拨】由于函数在区间上是减函数，从而可求出其最小值