【复习】专题04 正弦定理、余弦定理-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019）

正弦定理、余弦定理 【知识梳理】 1.余弦定理的表示及其推论 文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C. 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2.正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 【典型例题】 考点一：余弦定理   1. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是    A. B. C. D. 【答案】A 解：由已知得， 所以． 又，所以． 故选A． 2. 在中，如果，那么角等于      A. B. C. D. 【答案】B 解：因为在中，， 所以， 所以， 又角是的内角， 所以． 故选B．   3. 在中，，，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解答】 解：，，， ， ，可得， ， 则． 故选：．   考点二：正弦定理 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了正弦定理，属于基础题由正弦定理理代入数值计算出． 【解答】 解：由正弦定理得． 故选A．    5. 在中，若，则等于 A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 解：在中，， 则由可得， 又，所以， 所以或． 故选B． 6. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是          填序号 ，，，有两解； ，，，有一解； ，，，无解；    ，，，有一解． 【答案】 解：对于，根据正弦定理，，，故三角形一个解，说法错误； 对于，，，，故C有锐角和钝角两种解，故说法错误； 对于，，，故有解，故说法错误； 对于，，，一定为锐角，有一个解，故说法正确． 故答案为．  7. 在中，，，，则的值等于    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的的运用和计算能力，考查了转化思想． 由三角形的面积，，，可得，由余弦定理：，求解，利用正弦定理化简即可求解． 【解答】 解：，，， ，解得． ，解得． 则． 故选A． 8. 若的两边长分别为，，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为        A. B. C. D. 【答案】B 解：设，，另一边为，边，，对应角为，，， 则，． ， ． 设外接圆的半径为， 则． 故选B．    9. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查正弦定理与两角和与差的正弦，考查转化思想与运算能力，属于中档题． 利用正弦定理将，转化为，再利用两角和与差的正弦函数即可求得角． 【解答】 解：在，，由正弦定理得，， ， ，又在，， ， ，又， ． 故答案为：．   考点三：判定三角形形状 10. 在中，，，则一定是      A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了利用余弦定理解三角形，属于基础题． 根据题意结合余弦定理可确定，从而可得三角形形状． 【解答】 解： ，  ， ， ， ， 故是等边三角形． 故选D． 11. 设的面积为，它的外接圆面积为，若的三个内角大小满足，则的值为      A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题． 根据题意，可得，，，可得的面积为，外接圆面积为，利用正弦定理即可得解． 【解答】解：在中，的三个内角大小满足， ，，， ． 设外接圆的半径为， 则， ， ． 故选D．   12. 在中，若，则的形状为  A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查的是正弦定理的有关知识，属于基础题． 根据题意将变形为，进而得到，然后再进行求解即可． 【解答】 解：，， ， ， ， ， 或， 或， 则为等腰三角形或直角三角形． 故选D．   13. 在中，角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查两角和与差的三角函数公式，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 利用两角和与差的三角函数公式化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可． 【解答】 解