专题12.9 全等三角形的辅助线：倍长中线模型大题专练 （重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】 专题12.9全等三角形的辅助线：倍长中线模型大题专练 （重难点培优） 一、解答题(共24题) 1．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程． (1)求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（ ） CD＝ （中点定义） ∴△ABD≌△ECD（ ） (2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 2．（2021·辽宁·鞍山高新区实验学校八年级阶段练习）如图，为中边上的中线． （1）求证：； （2）若，，求的取值范围． 3．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 4．（2021·北京房山·八年级期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE． （1）依题意补全图形； （2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明． 5．（2020·江西·宜春市宜阳学校八年级阶段练习）阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 6．（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级阶段练习）阅读理解： (1)如图1，在中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE（或将绕着点D逆时针旋转180°得到），把AB，AC，2AD集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______； 问题解决： (2)如图2，在中，D是BC边上的中点，于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连结MN．求证：． 7．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：； （2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：； （3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：． 8．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 9．（2022·全国·八年级）如图，中，，E是的中点，求证：． 10．（2021·河北邢台·八年级期中）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC． 【理解与应用】 如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE． （1）求证：AC＝BD； （2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围． 11．（2021·全国·八年级单元测试）（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD； （2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF． 12．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角