专题1.5 不等关系与不等式性质-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题1.5 不等关系与不等式性质-重难点题型精讲 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法，(a，b∈R)； (2)作商法，(a∈R，b>0). 2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) a，b同为正数 【题型1 判断不等式是否成立】 【方法点拨】 (1)逐一给出推理判断或举反例说明． (2)结合不等式的性质、对数函数、指数函数的性质等进行判断． 【例1】（2022•顺义区校级模拟）若非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B．a+b＞2 C．lga2＞lgb2 D．a3＞b3 【解题思路】根据不等式基本性质，用特值法判断ABC，用函数单调性判断D． 【解答过程】解：对于A，因为当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不成立，所以A错； 对于B，因为当a＝﹣1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a+b＝﹣3，220，所以a+b＞2不成立，所以B错； 对于C，因为当a＝﹣1，b＝﹣10时，满足a＞b，但lga2＝0，lgb2＝2，所以lga2＞lgb2不成立，所以C错； 对于D，因为y＝x3是单调递增函数，所以a＞b⇒a3＞b3，所以D对． 故选：D． 【变式1-1】（2021秋•贺州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A． B．ab＜b2 C．ab＞a2 D． 【解题思路】根据不等式的基本性质，结合题意，判断选项中的命题是否正确即可． 【解答过程】解：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以0，即，选项A错误； 因为a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，选项B错误； 因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，选项C错误； 因为a＜b＜0，所以0，所以，即，选项D正确． 故选：D． 【变式1-2】（2022春•海淀区期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A． B．a2＜b2 C． D．ab＞b2 【解题思路】运用不等式的性质直接求解． 【解答过程】解：选项A，∵a＜b＜0，∴，选项A错误； 选项B，∵a＜b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，a2＞b2，选项B错误； 选项C，∵a＜b＜0，∴，选项C错误； 选项D，∵a＜b＜0，∴ab＞b2，选项D正确． 故：选D． 答案为：D． 【变式1-3】（2022春•巴中期末）若b＜a＜0，则下列不等式中成立的是（　　） A． B． C．b2＜a2 D．ln（﹣b）＜ln（﹣a） 【解题思路】取a＝﹣1，b＝﹣2说明A、C、D不成立，由基本不等式说明B正确即可． 【解答过程】解：取a＝﹣1，b＝﹣2，，A错误． （﹣2）2＞（﹣1）2，C错误． ln2＞ln1，D错误． 易得，0，则2，当且仅当，即a＝b时取等号，又b＜a＜0，显然取不到等号，则2，B正确． 故选：B． 【题型2 利用不等式的性质比较大小】 【方法点拨】 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． 【例2】（2022春•武威期中）已知，，则（　　） A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a，b大小不确定 【解题思路】首先利用分子有理化，将a，b分别化简，再比较分母的大小，即可判断选项． 【解答过程】解：a，b， 因为0，所以0， 所以a＜b． 故选：A． 【变式2-1】（2022•山西自主招生）已知，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【解题思路】可先分别计算出a5，b5，c5，进行比较即可得出a，b，c的大小关系． 【解答过程】解：由a＝1.2，故a5＝2.48832， 由，故b5≈2.72741， 由c＝e0.2，故c5＝e≈2.71828， 因为a5＜c5＜b5，所以a＜c＜b， 故选：C． 【变式2-2】（2021春•铜鼓县校级月考）设a＝x2﹣x，b＝x+3，则a与b的大小关系为（　　） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．与x有关 【解题思路】先求出a﹣b＝x2﹣2x﹣3，再解一元二次不等式求解即可． 【解答过程】解：∵a＝x2﹣x，b＝x+3， ∴a﹣b＝x2﹣2x﹣3， ①当x2﹣2x﹣3＞0，即x＞3或x＜﹣1时，a＞b， ②当x2﹣2x﹣3＝0，即x＝3或x＝﹣1时，a＝b， ③当x2﹣2x﹣3＜0，即﹣1＜x＜3时