专题01 等差数列必备知识点与考点突破-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题01 等差数列必备知识点与考点突破 【必备知识点】 ◆知识点1:等差数列 1.定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示. 2.等差数列的判定 (1)(定义法); (2)(中项法); (3)(通项法, 一次函数); (4)(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 3.等差数列通项公式 的几何意义是过两点的直线的斜率. 例:已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1 = 1，－ = 1，则an =（       ） A．2n －1 B．n C．2n － 1 D．2n-1 【答案】A 【解析】 ∵a1 = 1，－ = 1， ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴，即， ∴当时，， 当时，也适合上式， 所以. 故选：A. ◆知识点2:等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 1.若,则. 特别地,(1)若,则; 2.若,则; 3.若是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即 . 4.数列 是常数)是公差为的等差数列. 5.若是公差为的等差数列,与的项数一致,则数列为常数)是公差为的等差数列. 6.下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列. 7.在等差数列中,若,则有. 例:已知数列是等差数列，且，则等于（ ） A．84 B．72 C．60 D．43 【答案】C 【详解】 ∵数列是等差数列，且， ∴，∴， ∴ 故选：C． 例:是等差数列，且，，则的值（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为是等差数列，所以，，也成等差数列， 所以． 故选：B． ◆知识点3:等差数列前n项和 1.等差数列前n项和公式 (1) (2) (3) (关于前n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式) 2.等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . (1) 当(即)时,是常数函数,是各项为0的常数列. (2) 当(即)时,是关于的一次函数,是各项为非零的常数列. (3) 当(即)时,是关于的二次函数(常数项为0). 从上面的分析,我们可以看出: (1)一个数列是等差数列的条件是其前项和公式是关于的二次函数或一次函数或常数函数,且为常数). (2)若一个数列前项和的表达式为为常数),则当时,数列不是等差数列,但从第2项起为等差数列; (3)由二次函数图象可知,当时(是递增数列),有最小值;当时(是递减数列),有最大值. 例:在等差数列中，，前n项和为，且若对一切正整数n，均有 成立，则正整数_____________． 【答案】12或13 【详解】 等差数列中，，则， ∴，即，又，易得， ∴， 当或13时，取得最大值， ∴存在正整数k，使任意，都有恒成立，且k为12或13． 故答案为：12或13． ◆知识点4:等差数列前n项和的性质 1.等差数列中依次项之和 组成公差为的等差数列 2.若等差数列的项数为,则 3.若等差数列的项数为,则(是数列的中间项), 4.为等差数列为等差数列 5.若都为等差数列,分别为它们的前项和,则 例:设等差数列的前项和为且则（       ） A．2330 B．2130 C．2530 D．2730 【答案】D 【解析】 等差数列的前项和为，则构成等差数列， 即，构成等差数列， 则，则 故选：D 例:设是等差数列的前n项和，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在等差数列中，由，得， 故选：B 【核心考点】 ◆考点1:等差中项 1．等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：依题意，解得； 故选：D 2．已知，，则a，b的等差中项为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由等差中项的定义得： 则a，b的的等差中项为： ， ． 故选：A． 3．正项等比数列中，，，成等差数列，若，则（       ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【解析】 由题意可知，，，成等差数列， 所以，即， 所以，或（舍）， 所以， ， 故选：D. 4．已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（       ）． A．5 B．512 C．1024 D．64 【答案】D 【解析】 解：设等比数列的公比为q， 因为，所以，解得， 因为与的等差中项为，则有， 即，解得， 所以，故， 则，，，， 所以． 故选：D． ◆考点2:等差数列的证