专题02 等比数列必备知识点与考点突破-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之数列(新高考适用)

专题02 等比数列必备知识点与考点突破 【必备知识点】 ◆知识点1:等比数列 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示. 2.等比数列的判定 (1)(定义法); (2)(中项法) (3) (通项法)； (4)(和式法). 3.等比数列通项公式 或 例:已知数列满足，，则下列结论正确的是（       ） A．数列是公差为的等差数列 B．数列是公差为2的等差数列 C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】C 【解析】 ∵， ∴， 既不是等比数列也不是等差数列； ∴， ∴数列是公比为的等比数列． 故选：C 例:已知等比数列{}中，满足，，则（       ） A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列 【答案】AC 【解析】 由题意得：，所以，则， 所以数列{}是等比数列，A正确； ，所以，且，故数列是递减数列，B错误； ，所以，C正确； ， 因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误. 故选：AC ◆知识点2:等比数列的性质 设为等比数列,公比为,则 (1)若,则. (2)若成等差数列,则成等比数列. (3)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列; 数列是公比为的等比数列; 数列是公比为|q|的等比数列; 若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列. (4)在数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 . (5)在数列中,连续相邻项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列. (6)若数列是各项都为正数的等比数列,则数列且是公差为的等差数列. (7)等比数列的连续项的积构成的数列: ,仍为等比数列. 例:在正项等比数列中，，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 在等比数列中，， 于是得，而，所以. 故选：C 例:已知等比数列满足，，则（       ） A．数列是等差等列 B．数列是等差数列 C．数列是递减数列 D．数列是递增数列 【答案】B 【解析】 解：因为等比数列满足，， 则，故数列是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误； 则，故数列是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确；由A知：。故数列是递增数列，故C错误； 由B知：，故数列是递减数列，故D错误； 故选：B ◆知识点3:等比数列前n项和 1.等比数列前项和公式 当时, 当时, 2.等比数列前项和公式与指数函数的关系 (1)当时, 是关于的正比例函数,点是直线上的一群孤立的点. (2)当时,.记 ,则是一个指数式与一个常数的和.当且时,是指数函数,此时,点是指数型函数图象上的一群孤立的点. 如等比数列 的前项和为,点是函数图象上的一群孤立的点. 例:已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ） A．31 B． C． D．63 【答案】C 【解析】 ∵成等差数列， ∴， ∴，即，解得 或 ， 又∵，∴， ∴， 故选：C. 例:已知等比数列的前n项和，则实数t的值为（       ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【解析】 由等比数列的前项和，分别令，2，3． 得，，， 解得，，， 由等比数列可得，即，， 解得，故选：． ◆知识点4:等比数列前n项和的性质 已知等比数列的公比为,前项和为,则有如下性质: (1). 证明: . (2)若均不为0 ,则成等比数列,且公比为. (3)若共有项,则; 若共有 项,则. 例:等比数列的前n项和为，已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为且为等比数列，故为等比数列， 故，解得， 故选：B. 例:已知等比数列的前项和为，，，则（       ） A．90 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【解析】 设公比为，有，可得， 故选：D． 例:已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【核心考点】 ◆考点1:等比中项 1．在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】 解：设等差数列的公差为d，又，，成等比数列， 所以，则，解得：