全书（教师用书电子教辅）-【优化指导】2021秋新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 课程内容标准 学科素养凝练 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律． 3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用． 通过空间向量的概念、空间向量的线性运算、共线及共面的充要条件的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算、数学建模的核心素养． [对应学生用书P1] 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 4．几类常见的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或＝ 1．空间向量的加法、减法以及数乘运算的运算法则 由图(1)，知 ①a＋b＝＋＝； ②a－b＝－＝． 由图(2)，知 ③当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0． 2．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ_a,_λ(a＋b)＝λa＋λb． 3．一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体体对角线所表示的向量． 1. 共线(平行)向量 共面向量 定义 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，对于任意向量a，都有0∥a 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x_a＋y_b 2.直线l的方向向量：已知O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa．我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 3．与直线、平面平行的向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√) (2)若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面．(×) (3)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(√) (4)对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．(√) (5)对空间任一点O，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面．(×) (6)若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面．(×) 2．(教材P5练习题4改编)在四面体OABC中，＋－等于(　C　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．(教材P5练习题5改编)已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＋y(＋)，则(　D　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 4．(多空题)(教材P5练习题3节选)如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，用，，表示，，则＝－＋，＝＋－． [对应学生用书P2] (1)下列说法正确的是(　　) A．若|a|<|b|，则a<b B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C．空间内两平行向量相等 D．四边形ABCD中，－＝ (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相等的向量有__________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) [分析]　根据相等向量、相反向量等有关概念判断． (1)D　(2)，，　，，，　[(1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错；D正确． (2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.] [方法总结] 1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，