第09讲 一元二次方程单元复习-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第9讲 一元二次方程单元复习 ( 知识精讲 ) 知识点01 一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 注意： （1）判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为1。 （2）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点02 一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 注意： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 知识点03 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1．一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2．一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 注意： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点04 列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键 寻找等量关系 3.解决应用题的一般步骤 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 注意： 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. ( 能力拓展 ) 考法01 一元二次方程的有关概念 【典例1】下列方程中，一元二次方程共有（       ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练】下列方程是一元二次方程的是（       ） A． B． C． D． 【典例2】方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（       ） A． B． C．2 D．4 【即学即练】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（            ） A． B． C． D． 考法02 一元二次方程的解法 【典例3】用配方法解方程x2＋4x﹣1＝0时，配方结果正确的是（       ） A．（x＋4）2＝5 B．（x＋2）2＝5 C．（x＋4）2＝3 D．（x＋2）2＝3 【即学即练】用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例4】已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　） A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16 【即学即练】已知a、b、5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（       ） A．3 B．7 C．3或7 D．-3或7 【典例5】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（       ） A．9 B．12 C．2或5 D．9或12 【即学即练】方程x2﹣x＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1 考法03 一元二次方程根的判别式的应用 【典例6】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取