第08讲 应用一元二次方程-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第8讲 应用一元二次方程 ( 目标导航 ) 课程标准 1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理； 2.认识方法模型的重要性，掌握运用方程解决实际问题的一般步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 ( 知识精讲 ) 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1．利用方程解决实际问题的关键 寻找等量关系 2．解决应用题的一般步骤 （1）审题：仔细阅读题目，分析题目，明确已知量与未知量。 （2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的关系，用运算符号和等号连接。 （3）设未知数：一类是直接设所求的量为x，另一类是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位。 （4）列方程：用含有未知数的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程。 （5）解方程：选择合适的方法解方程。 （6）检验：检验方程的根是否正确及是否符合题意，舍去不符合题意的根。 （7）写出答案，书写答案时注意不要遗漏单位。 注意：列方程解实际问题的三个重要环节 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性。 知识点02 一元二次方程应用题的主要类型 1．数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2．平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3．利息问题 (1)概念 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式　 利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4．利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5．形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 注意： 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. ( 能力拓展 ) 考法01 数字问题 【典例1】如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 【即学即练】日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 图1 图2 A．17 B．18 C．19 D．20 【典例2】两个连续奇数的