专题2.4 圆的方程-【满分计划】2022-2023学年高二数学阶段性复习精选精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4 圆的方程 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 知识点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 题型一：圆的标准方程 1．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）与圆C：关于直线对称的圆的方程为（          ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆C：的圆心，半径． 设点关于直线的对称点为， 则， 所以圆C关于直线的对称圆的方程为， 故选:C． 2．（2022·江苏·高二）圆：关于直线对称的圆的方程为（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：表示以为圆心，以1为半径的圆． 设关于直线对称的点为，则有，解得：，， 所以：关于直线对称的圆的方程为． 故选：A． 3．（2022·江苏·高二）求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心在x轴上，半径为5，且过点； (2)经过点、，且以线段AB为直径； (3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； (4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 【答案】(1)或 (2)(3)(4) 【解析】(1)设圆的标准方程为． 因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6， 所以所求圆的标准方程为或． (2)设圆的标准方程为，由题意得，； 又因为点在圆上，所以． 所以所求圆的标准方程为． (3)设圆心为． 因为圆与直线y=1-x相切于点，所以， 解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径． 所以所求圆的方程为． (4)设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为． 又该圆经过A、B两点，所以． 所以，解得a=-2， 所以圆心坐标为，半径．故所求圆的标准方程为． 题型二：圆的一般方程 1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知圆方程的圆心为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标； 【详解】 解：因为，即， 所以圆心坐标为； 故选：C 2．（2022·福建漳州·高二期末）在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 为锐角三角形， 的外接圆就是它的最小覆盖圆， 设外接圆方程为， 则   解得 的最小覆盖圆方程为，即， 的最小覆盖圆的半径为.故选：C 3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则a的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 设圆的方程为， 由题意得，解得， 所以， 又因为点在圆上，所以，即. 故选：C. 题型三：点与圆的位置关系 1．（2022·全国