3.2 函数的基本性质（教案）-2022-2023学年高一数学教材配套教案（人教A版2019必修第一册）

3.2 函数的基本性质 · 考纲要求 1．掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值． 2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 3．了解函数奇偶性的含义． 4．能够运用函数图象理解和研究函数的性质． · 知识解读 知识点①函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 3．复合函数的单调性 对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点②函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点③函数的奇偶性 1．函数的奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于坐标原点对称 偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称 2．奇偶性的重要结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 3．对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． · 题型讲解 题型一、函数的单调性 例1．函数y＝x2＋2x－3(x>0)的单调增区间为________． 例2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 例3．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 例4．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(　　) A．－2 B．2 C．－6 D．6 例5．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 例6．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　) A．y＝|x|＋2 D．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4 例7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1<f(x)<1的解集是(　　) A．(－3，0) D．(0，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 例8．函数f(x)＝，满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为_________. 例9．已知函数f(x)＝，若0<x1<x2<x3，则，，的大小关系是(