1.4 空间向量的应用（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4空间向量的应用 · 考纲要求 1．理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系． 3．能用向量方法证明平行和垂直． 4．能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题． · 知识解读 知识点①直线的方向向量与平面的法向量 1．直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． 2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 知识点②空间位置关系的向量表示 1．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线平行 l∥m⇔ a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔ a⊥n1⇔ a·n1＝0 面面平行 α∥β ⇔ n1∥n2⇔ n1＝kn2(k∈R) 线线垂直 l⊥m⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔ a∥n1⇔ a＝kn1(k∈R) 面面垂直 α⊥β ⇔ n1⊥n2⇔ n1·n2＝0 2．利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题． 知识点③空间距离的向量求法 1．点到线的距离：设直线l的单位方向向量为u，A∈l，Pl，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 2．点到面的距离：已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝ 知识点④利用向量求空间角 1．两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v， 则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝． 2．直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝． 3．二面角 (1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角． (2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝． 4．常用结论 1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|． 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是． · 题型讲解 题型一、直线的方向向量与平面的法向量 例1． 已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， (1)求平面BCC1B1的一个法向量． (2)求平面MCA1的一个法向量． 例2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3 B．6 C．－9 D．9 题型二、用空间向量研究直线、平面的平行和垂直关系 考点一、利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题． 例1．已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． 例2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．斜交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内 例3．正方体ABCD －A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． 例4．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG． 例5．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4． (1)求证：BD⊥PC． (2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．