全书（教师用书电子教辅）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第一章　集合与常用逻辑用语 1．1　集合的概念 [学习目标] 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系(重点).2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 要点一　元素与集合的概念 1．元素 一般地，把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合 一般地，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 3．集合中元素的特性 确定性、互异性、无序性. 4．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 要点二　元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集 合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 要点三　常用的数集及其记法 概念 名称 记法 全体非负整数组成的集合 非负整数集 (或自然数集) N 全体正整数组成的集合 正整数集 N*或N＋ 全体整数组成的集合 整数集 Z 全体有理数组成的集合 有理数集 Q 全体实数组成的集合 实数集 R 要点四　集合的表示方法 1．自然语言法 用文字叙述的形式表示集合的方法． 2．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法，表示形式为A＝{a1，a2，a3，…，an}． 3．描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}． (1)组成集合的元素一定是实数．(　　) (2)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) (3)集合相等与集合的形式无关．(　　) (4)符号“∈”和“∉”只用来表示元素和集合之间的关系．(　　) 提示 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 考点一　集合的判定 解题技巧 判断一组对象能否构成集合的方法 (1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果判断的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合． (2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 【例题1】 下列所给的对象能构成集合的是____. (1)高一数学必修第一册课本上的所有难题； (2)比较接近1的全体正数； (3)某校高一年级16岁以下的学生； (4)平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点； (5)参加跳绳比赛的年轻选手； (6)a，b，a，c. 思维导引：根据集合的概念直接判断． 解析 (1)不能构成集合．因为“难题”的标准是模糊的，所以元素是不确定的，故不能构成集合． (2)不能构成集合．因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素是不确定的，故不能构成集合． (3)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”． (4)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”． (5)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，所以元素是不确定的，故不能构成集合． (6)不能构成集合．因为有两个a是重复的，不符合元素的互异性． 答案 (3)(4) 【变式1】 下列所给的对象，能构成一个集合的是(　　) ①某校高一年级成绩优秀的学生；②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2021年某校春季运动会跳远项目前三名的获得者． A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 答案　B 解析　①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足集合元素的特性，所以能构成集合．故选B项． 考点二　元素与集合的关系 误区防错 确定集合元素的两个注意点 (1)判断一个对象是否为某个集合(描述法表示)的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合中元素的共同特征．反之，如果一个对象是某个集合的元素，则这个对象必具有这个集合中元素的共同特征． (2)判断集合中元素的个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个． 【例题2】 用符号“∈”或“∉”填空． (1)2_____{x|x<},3_____{x∈Z|－5≤x≤2}； (2)4_____{x|x＝n2＋1，n∈Z},5_____{x|x＝n2＋1，n∈Z}； (3)(－1,1)_____{y|y＝x2}，(－1,1) _____{(x，y)|y＝x2}； (4)____Q,0____N*. 思维导引：直接利用集合元素的特性进行判断即可． 解析 (1)因为22<()2，所以2∈{x|x<}； 因为{x∈Z|－5≤x≤2}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}，所以3∉{x∈Z|