1.3 正方形的性质与判定（分层练习）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 精选练习 基础篇 一、单选题 1．（2022·重庆万州·八年级期末）下列命题错误的是(     ) A．正方形的四条边都相等 B．正方形的四个角都相等 C．正方形是轴对称图形，共有两条对称轴 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 A.正方形的四条边都相等，故A正确，不符合题意； B.正方形的四个角都相等，故B正确，不符合题意； C.正方形是轴对称图形，共有四条对称轴，故C错误，符合题意； D.正方形的对角线相等且互相垂直平分，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的性质，难度不大． 2．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（       ） A．15° B．22.5° C．20° D．10° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方形与等边三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】 解：∵正方形ABCD外侧作等边， ∴， ，， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键． 3．（2022·天津河西·八年级期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且，则下列结论不一定正确的是（       ） A． B． C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正方形的性质可证得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根据全等三角形的性质和勾股定理，逐项判断即可求解． 【详解】 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠A=∠B=90°， 又CQ=BP ， ∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ 在△AFP和△BPQ中， ∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ， ∴△AFP≌△BPQ（SAS）， ∴∠AFP=∠BPQ，故A选项正确，不符合题意； 同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF， ∴PF=PQ=QE=EF， ∴四边形EFPQ为菱形， ∴EF∥QP，故B选项正确，不符合题意； ∵△AFP≌△BPQ ∴∠BPQ=∠AFP， 又∵∠A=90°， ∴∠AFP+∠APF=90°， ∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°， ∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°， ∴四边形EFPQ是正方形，故C选项正确，不符合题意； 设正方形ABCD的边长为a，BP=AF=x，则， ∴AB=a， ∴， ∴正方形EFPQ的面积为， 而x的值无法确定， ∴四边形PQEF的面积不一定是四边形ABCD面积的一半，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 4．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图，正方形的两条对角线相交于点，点在上，且，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方形的性质可得∠CBD=∠ACB=45°，再由，可得∠BCE=67.5°，即可求解． 【详解】 解：在正方形ABCD中，∠CBD=∠ACB=45°， ∵， ∴， ∴∠ACE=∠BCE-∠ACB=22.5°． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 5．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则AB的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正方形的性质可证得△AOM≌△DON，从而得到S△AOM=S△DON，进而得到S△AOD=2，可得到OA=2，再由勾股定理，即可求解． 【详解】 解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，∠AOD=90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON=∠AOD=90°， ∴∠AOM=∠DON， ∴△AOM≌△DON， ∴S△AOM=S△DON， ∴四边形MOND的面积等于S△AOD， ∵四边形MOND的面积是2， ∴S△AOD=2，即， ∴OA=2， ∴． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2022·广东·惠州一中八年级期中）如图，将