微专题一 全等三角形的公共边、公共角、边边角及X模型-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

微专题一 全等三角形的公共边、公共角、边边角及X模型 模型一：公共边模型 全等三角形中，公共边模型是指在证明两个三角形全等时，有一条边是公共边，其常见类型为： ①利用三角形的高线，作为公共边（如图） 如图在中，，我们可以得到，此时如果要证，已经有了一组角和一组边对应相等，如果此时BD=DC，可以利用SAS，证明三角形全等；如果此时，则可用AAS，证明三角形全等。 ②利用三角形的中线，作为公共边（如图） 如图在中，，在中我们可以得到，此时如果要证，已经有了两组边对应相等，如果此时AB=AC，可以利用SSS，证明三角形全等；如果此时，则可用SAS，证明三角形全等。 ③利用三角形的角平分线，作为公共边（如图） 如图在中，，在中我们可以得到，此时如果要证，已经有了一组角和一组边对应相等，如果此时AB=AC，可以利用SAS，证明三角形全等；如果此时，则可用ASA，证明三角形全等。 【典例1】如图，在中，是的平分线，，垂足为D，求证：． 模型二：公共角模型 全等三角形中，公共角模型是指在证明两个三角形全等时，有一个角是公共角，其常见类型为： 如图在中，，在中，E，，可以得到：-，，此时我们可以得到：。 【典例2】在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 模型三：边边角模型 全等三角形中，边边角模型是指在证明两个三角形全等时，有一组角相等和一组对应边相等（通常为角平分线），其常见类型为： 如图AD平分，得到，AD=AD，只需AB=AC即可得到。 【典例3】如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 模型四：X模型 全等三角形中，X模型是指在证明两个三角形全等时，有一组顶角互为对顶角的两个三角形，（其常见类型为： 如图在，要证，我只需知道BC//DE和一组对应边相等即可。 【典例4】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　） A．1.5 B．2                      C．                         D． 2．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（      ） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 3．如图，已知是的中线，是上的一点，交于，，，，则__________． 4．已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 5．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点 （2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论． 6．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A+∠C=180°． 7．在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长． 8．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E． （1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由； （2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 9．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB． （1）证明：AHB≌AG