3.3 勾股定理的简单应用-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第3章 勾股定理 3.3 勾股定理的简单应用 课程标准 课标解读 1. 理解勾股数的含义； 2. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力. 1.会用勾股定理进行简单的运算 2.通过探究，会用勾股定理解释生活中的实际问题 知识点01 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【微点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 【即学即练1】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（       ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 知识点02 勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【微点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 【即学即练2】《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2 C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2 知识点03 勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【微点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （为正整数）； 【即学即练3】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（       ） A．x2＋62＝102 B．（10－x）2＋62＝x2 C．x2＋（10－x）2＝62 D．x2＋62＝（10－x）2 考法01 勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 【典例1】1．如图，一架梯子斜靠在某个过道竖直的左墙上，顶端在点处，底端在水平地面的点处．保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点处．测得顶端距离地面的高度为2米，为1.5米． (1)求梯子的长； (2)若顶端距离地面的高度比多0.4米，求的长． 题组A 基础过关练 1．如图，一木杆在离地面4m的A处折断，木杆顶端落在离木杆底端3m的B处．则A木杆折断之前的长度为（       ）． A．6m B．7m C．8m D．9m 2．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，.如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　　）尺 A．7.5 B．