第1、2节 GGB视角下的直线倾斜角和斜率探究、直线方程的求解及应用研究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 2 节 直线方程的求解及应用研究 直线方程是所有曲线方程中形式最简单的方程，但其形式较多，要根据题设的特点，选择合适的直线 方程形式并加以求解有一定难度，在求解过程中，容易遗忘一些特殊情形．本节，借助 GGB 课件的动态特 性，力求对以上难点能够有所突破． 【实验 1】直线方程的求解 求解直线方程，题设的条件千变万化，举两个典型例子加以说明： 1．若直线 l过点 )2,(),1,1( mBA ，求直线 l的方程． 2．求过点 )3,2(A 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程． 对问题 1 的探究，在 GGB 中作一个简单的课件，直接加以说明． 【探究步骤】 1．在 GGB 绘图区中作出点 )2,(),1,1( mBA ； 2．设置参数m； 3．拉动滑杆m，观察在直线的一些特殊位置（如倾斜角等于 , 2 ,0  或直线过原点）原来设定的方程形 式是否还可以应用，如果不能，就需要分类讨论． 探究发现，若 1m 时，直线方程都可以用点斜式或者两点式表示，如写成 )1( 1 1 1    x m y ，当 1m 时，直线的斜率不存在，方程可表达为 1x ． 对于问题 2 的探究，注意到两坐标轴上截距的绝对值相等这一条件，通常采用截距式进行求解，但又 应该考虑到一些特殊情形．为此，作以下研究． 【探究步骤】 1.在 GGB 绘图区中作出点 )3,2(A 及自由点B； 2.作出直线 AB； 3．拉动点B，观察直线的一些特殊位置，截距式方程是否还可以应用，如果不能，则需分类讨论． 观察发现，本题的求解要注意两个问题：一，两坐标轴上截距的绝对值相等，在截距不为０的前提下， 包括了截距相等，也包括了截距互为相反数的情形，也就是包括了倾斜角为 4 3 4  ， 两条直线；二，注意当 直线过原点时，它在两坐标轴上的截距都为０，此时虽然符合题意，但已经不能再用截距式方程求解． 综上，满足条件的直线方程为 xyxyxy 2 3 ,5,1  ． 【拓展探究 1】 若函数 )(xfy  在 ax  及 bx  之间的一段图象可以近似地看作直线，且 bca  ， （1）求证：  )()()()( afbf ab ac afcf     ； （2）若 1823.02.1ln  ，试据此预测 1.1ln 的值；若已知 095.01.1ln  ，且预测值与真实值的误差不超过 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 01.0 ，就认为这样的预测是可以接受的，本题 1.1ln 的预测值可以接受吗？ 【实验 2】直线方程应用探究 【探究问题 1】 过点 )0,3(P 有一条直线 l，它夹在两条直线 022:1  yxl 与 03:2  yxl 之间的线段恰被点P 平分，求直线 l的方程． 【探究步骤】 1．作点 )0,3(P ，并锁定； 2．在指令栏内分别输入“ 022  yx ”和“ 03  yx ”，作出题中两条直线； 3．在直线 022:1  yxl 任取一点 1P； 4．过点 1,PP 作直线 l； 5．作直线 l与直线 2l 的交点 2P ； 6．测量 21 , PPPP ； 7．拉动点 1P，观察当 21 PPPP  时直线 l的方程． 观察得知，直线 l的方程近似为 03.1667.05.34  yx ． 在数学求解时，通常有两种方案： 【方案 1】 （1）若直线 l的斜率不存在，则 l的方程为 3x ，此时可求得 )6,3(),4,3( 21 PP ，此时 21PP 并没被点P 平分； （2）若直线 l的斜率存在，可设 l的方程为 )3(  xky ， 由      022 )3( yx xky 求得 ) 2 4 , 2 32 (1 k k k k P     ， 由      03 )3( yx xky 求得 ) 1 6 , 1 33 (2 k k k k P     ， 因为 21PP 被点P平分，所以   k k 2 4 0 1 6    k k ，解得 8,0  kk 或 ． 0k 并不符合题意，所以直线 l的方程为 )3(8  xy ， 0248  yx即 ，实验结果和此结果相符． 此方案解法中规中矩，不足之处也非常明显：一是无法避开讨论，二是求解过程运算量较大． 【方案 2】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 考虑到点 1P在直线 022:1  yxl 上，可设 )