专题1.4 空间向量的应用-【满分计划】2022-2023学年高二数学阶段性复习精选精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量的应用 要点一 法向量及其应用 1.直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 2. 平面的法向量定义： 已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为n=（x，y，z）； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 要点二、用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。 （1）线线平行 设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。 （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即。 ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。 ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。 （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。 ②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。 要点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。 （1）线线垂直 设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。 （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明。 ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。 （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。 ②证明两个平面的法向量互相垂直。 要点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则 （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有。 （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E， 则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。 若分别为面，的法向量， 则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。 ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。 ②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。 要点五、 用向量方法求空间距离 1. 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。 2. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 【考点剖析】 类型一：空间向量解决平行垂直问题 例题1 ．如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)在直三棱柱中， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，取，得， ，且平面，则平面 (2)，， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 又平面的法向量，则，则 平面平面． 例题2 ．如图，正方体中，、分别为、的中点． (1)用向量法证明平面平面； (2)用向量法证明平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面； (2)由，是线段，中点， 则，，所以，则，所以平面. 类型二：空间向量解决距离问题 例题1 ．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2