2.3 直线的交点坐标与距离公式 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 课程标准 核心素养 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2.探索并掌握两点间的距离公式. 3.探索并掌握点到直线的距离公式. 4.会求两条平行直线间的距离. 直观想象、数学抽象、数学运算 知识点1 两直线的交点坐标 1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解． 2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 注：(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 【即学即练1】直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　) A．(4,1)　　　　　　　 B．(1,4) C. D. 【解析】由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是. 【即学即练2】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 【解析】(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)解方程组 ①×2得4x－12y＋8＝0. ①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 知识点2　两点间的距离公式 1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. 2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． 注：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关． （2）①当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. ②当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. ③当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝. ④当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2|＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. ⑤已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得 |P1P2|＝＝|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 【即学即练3】已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　) A．5 B. C. D．4 【解析】|MN|＝＝5.故选A 【即学即练4】已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 【解析】∵|AB|＝＝5，∴a＝－5或a＝1.故选C 知识点3 直线系过定点问题 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 【即学即练5】无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 【解析】∵(m＋1)x－y－7m－4＝0， ∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0， ∴∴ ∴点P的坐标为(7,3)． 【即学即练6】经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________． 【解析】设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝， 令y＝0，得x＝. 由＝， 得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 知识点4　点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度