2.2 直线的方程 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 课程标准 核心素养 　　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 数学抽象 直观想象 知识点1 直线方程的点斜式、斜截式 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 注：1．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？ 斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距)． 2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)； (2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0. 3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 4．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b. 5．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零． 6．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程． 【即学即练1】方程y＝k(x－2)表示(　　) A．通过点(－2,0)的所有直线 B．通过点(2,0)的所有直线 C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 【解析】易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．故选C 【即学即练2】已知直线的方程是x＋y＝1，则斜率k＝________. 【解析】由x＋y＝1得y＝－x＋1，则k＝－1. 【即学即练3】在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________． 【解析】∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3， 又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2. 【即学即练4】已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A．9 B．－9 C. D．－ 【解析】由y＋＝(x－1)，得y＝x－9，∴l在y轴上的截距为－9.故选B 【即学即练5】(多选)给出下列四个结论，正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 【解析】A不正确，方程k＝不含点(－1,2)；B正确；C正确；D只有k存在时成立．故选BC 【即学即练6】求满足下列条件的m的值． (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直． 【解析】(1)∵l1∥l2，∴两直线斜率相等．∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝.∴m＝. 知识点2　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距a，在y轴上截距b 图形 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过 原点的直线 注：（1）两点式方程 ①利用两点式求直线方程必须满足x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴． （即：当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．） ②两点式方程与这两个点的顺序无关． ③方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． （2） 截距式方程 ①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程． ②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． ③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． ④过原点的直线的横、纵截距都为零． 【即学即练7】已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．