不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

一元二次不等式恒成立和有解问题 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为， 则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即. 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 2、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例1】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立， 等价于． 综上，实数的取值范围为．故选：B． 【变式1-1】“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵不等式在R上恒成立， ∴ ，解得， 又∵，∴，则不等式在R上恒成立， ∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，故选：A. 【变式1-2】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】当时，恒成立，符合题意； 当时，由题意有，解得， 综上，.故选：B. 【变式1-3】已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式为，对恒成立，所以满足条件 当时，不等式为，解集为，不满足题意 当时，对应的二次函数开口向上， 的解集一定不是R，不满足题意 当，时，若不等式的解集为R， 则，解得：，综上，故选：B 【变式1-4】关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，不等式为恒成立，； 当时，不等式可化为：， ，（当且仅当，即时取等号），； 综上所述：实数的取值范围为.故选：B. 题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例2】若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【解析】对于任意的，不等式， 即， 因此，对于任意的，恒成立， 当时，，， 当且仅当，即时取“=”， 即当时，取得最小值4，则， 所以实数的取值范围是. 【变式2-1】已知对恒成立，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】因为对恒成立， 即在时恒成立，令， 则代换为，令， 由对勾函数可知，在上单增，所以， 所以.故答案为： 【变式2-2】已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【解析】不等式即为：， 当时，可变形为：，即. 又， 当且仅当，即时，等号成立， ，即. 故实数的取值范围是：. 【变式2-3】若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】记， 要使不等式对一切都成立，则： 或或 解得或或，即.故选：D 【变式2-4】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，对一切均大于0恒成立， 所以，或，或， 解得或，，或， 综上，实数的取值范围是，或，故选：A. 题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 【例3】当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】 【解析】由题意不等式对恒成立， 可设，， 则是关于的一次函数，要使题意成立只需， 即，解，即得， 解，即得， 所以原不等式的解集为，所以的取值范围是． 【变式3-1】若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真