专题1.6 手拉手模型（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题1.6 手拉手模型 【典例1】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　 　；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 【思路点拨】 （1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）法，判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【解题过程】 解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）∵△ABC和△CDE均是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵∠CDE＝60°， ∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∵∠CED＝60°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°， 故答案为：60°，BE＝AD； （3）AE＝BE+2CM，理由： 同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°， ∴∠BEC＝∠ADC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM． ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 1．（2021春•鄄城县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　） A．55° B．50° C．45° D．60° 【思路点拨】 求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△EAC，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可． 【解题过程】 解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△EAC中，， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故选：A． 2．（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则 下列结论，其中正确的是（　　） ①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC． A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 【思路点拨】 想办法证明△FAB≌△EAC（SAS），利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解题过程】 解：∵∠EAF＝∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， ∵AF＝AE，AB＝AC， ∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确， ∴BF＝EC，故②正确， ∴∠ABF＝∠ACE， ∵∠BDF＝∠ADC， ∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF， ∴∠BFC＝∠EAF，故③正确， 无法判断AB＝BC，故④错误， 故选：A． 3．（2021秋•民权县期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝44°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝44°；②AF＝AC；③∠EFB＝44°；④AD＝AC，正确的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 由“SAS”可证△ABC≌△AEF，由全等三角形的性质依次判断可求解． 【解题过程】 解：在△ABC和△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正确， ∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF， ∴∠EAB＝∠FAC＝44°，故①正确， ∵∠AFB＝∠C