专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【满分计划】2022-2023学年高二数学阶段性复习精选精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3 空间向量及坐标表示 一、空间直角坐标系 1.求空间点的坐标：在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 2.空间向量的坐标表示： （1）若则. （2）在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z). 3. 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 二、空间向量线性运算的坐标表示 空间向量坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 三、空间向量的平行与垂直 空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 四、空间向量的长度与夹角 空间向量的夹角与长度问题 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 设，是空间中任意两点，则， ，这是空间两点间的距离公式 【考点剖析】 类型一：空间直角坐标系 例1．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（　　） A．（5，8，3） B．（5，﹣6，4） C．（8，16，4） D．（16，0，4） 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2021-2022学年高二上学期期末数学试题 【答案】A 【解析】， 故选：A 例2．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（       ） A． B． C． D． 【来源】广东省普通高中2021-2022学年高二上学期阶段性联合测评数学试题 【答案】B 【解析】由题意得，，所以， 所以，所以的坐标为． 故选：B． 例3．平行六面体中，，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B设， ∵，又， ∴， 解得，即. 故选：B. 类型二：空间向量的坐标表示 例1．已知，，且，则（       ） A．， B．， C．， D．， 【来源】福建省厦门外国语学校2021-2022学年高二下学期数学期末模拟试题（3） 【答案】B 【解析】，， 则， 由，可得，解之得 故选：B 例2．已知，，且，则向量与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 所以，，所以， 因为，所以. 故选：C 例3．在空间直角坐标系中,正方体棱长为为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】 由正方体的性质可得，设，则，因为，，解得，则点的坐标为，故选C. 二、多选题 例4．已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（       ） A．存在点P，使得 B．存在唯一点P，使得 C．当，此时点P的轨迹长度为 D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为 【来源】广东省广州市番禺区2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【答案】BCD 【解析】 【分析】 以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz． A（2，0，0），M（0，2，1），设P点坐标为（x，y，2）（），， 为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点，设该点为，则点坐标为 ∴ 故A选项错误． 由可得 故B选项正确． 时，即，此时由点P坐标为得到 点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为．故C选项正确． 当