专题1.2 空间向量基本定理-【满分计划】2022-2023学年高二数学阶段性复习精选精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其运算 一、空间向量基本定理 1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc    .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ,a,b,c都叫做基向量 .空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底 2.基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向量应注意: (1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断; (2)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】 二空间向量的正交分解 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1    ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 【考点剖析】 类型一：对平面向量基本定理的理解 例1．（多选）（2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（       ） A．若，则 B．，，两两共面，但，，不共面 C．一定存在实数x，y，使得 D．，，一定能构成空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线， ∴若，则，A正确，B正确； 若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误； 设，则，此方程组无解， ∴，，不共面，D正确.故选ABD. 类型二：基底问题 用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 例题1 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，故，，共面； 对于B，因为，故，，共面； 对于D，因为，故，，共面； 对于C，若，，共面，则存在实数，使得：， ，故共面， 这与构成空间的一个基底矛盾， 故选：ABD 例题2．给出下列命题，其中正确的是（       ） A．任意向量，，满足 B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若为正四面体，G为的重心，则 【来源】辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高二上学期期末数学试题 【答案】CD 【解析】A：因为与是一个标量，设，， 若要，则需要向量方向相同，但不一定相同， 所以不一定成立，故A错误； B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误； C：因为是空间的一个基底，所以不共面， 假设共面，则存在实数使得， 即，所以，方程组无解， 所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确； D：， 则，又为的重心， 所以，故，故D正确. 故选：CD 例题3．下列关于空间向量的命题中，正确的有（       ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥； B．若非零向量，，满足，，则有∥； C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底； 【答案】ACD 【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确， 对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误， 对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确， 对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确， 故选：ACD 类型三：基底应用 例题1 ．如图，设，若，则（       ） A． B． C． D． 【来源】江西省上饶市重点中学协作体2021-2022学年高二下学期期末联考数学（理）试题 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量的加法及减法的三角形法则，结合向量的数乘运算及共线向量定理即可求解. 【详解】 由，得,由，得, 所以， 故选：A. 例题2．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（       ） A． B． C． D． 【来源】江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【答案】A 【