第8节 解三角形综合探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 8 节 解三角形综合探究 解三角形就是已知一个三角形的若干角和边，求未知的角和边的过程．在求解的过程中，有时满足条 件的三角形只有一个，有时有两个，有时却不存在满足条件的三角形，这是为什么呢？本节就从此入手， 对解三角形问题展开探究． 【实验 1】研究满足条件的三角形个数问题 为研究方便，假设 ABC 的角 CBA ,, 所对应的边为 cba ,, ，给出以下系列问题： （1）若 ABC 中， 3, 6 ,2  cBa  ，求解这个三角形； （2）若 ABC 中， 4 ,2, 6   CbA ，求解这个三角形； （3）若 ABC 中， 2, 4 , 6  cBA  ，求解这个三角形； （4）若 ABC 中， 3,4,2  cba ，求解这个三角形； （5）若 ABC 中， 6 ,3,4   Cca ，求解这个三角形； （6）若 ABC 中， 6 , 4   CA ，求解这个三角形． 读者可以打开 GGB，在绘图区作出各个问题对应的三角形．本书以问题（1）为例． 【探究步骤】 1．在绘图区空白处单击右键，在右键菜单中隐藏平面直角坐标系； 2．选择“定长线段”工具，在绘图区空白处单击，作出点 A，然后在弹出的对话框中输入长度２，系统 自动绘制出长度不可变的线段 AB，把它重命名为线段BC； 3．选择“定值角度”工具，依次选定点C，点B，在系统自动弹出的对话框中输入角度 6  ，系统作出了 终边上的点 'C ； 4．选择“射线”工具，依次点击点 ',CB ，作出射线 'BC ； 5．选择“定长线段”工具，再选择点B，在对话框中输入长度３，得到定长线段BA； 6．拉动点 A到射线 'BC 上，用线段连结 AC ． 由此得到满足条件的 ABC ，并通过以上作图过程，可以发现满足条件的三角形只有一个．这里所说 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 的“满足条件的三角形只有一个”的意思是满足以上条件后，三角形的形状和大小完全确定，或许你也可以作 出其它的三角形，但你所作的三角形和上述三角形经过平移变换和旋转变换后，它们将完全重合． 下面选择问题（5），对此类问题再作一次探究． 【探究步骤】 1．在绘图区空白处单击右键，在右键菜单中隐藏平面直角坐标系； 2．选择“定长线段”工具，在绘图区空白处单击，作出点 A，在弹出的对话框中输入长度４，系统自动 绘制出长度不可变的线段 AB，把它重命名为线段BC； 3．选择“定值角度”工具，依次选定点B，点C，在系统自动弹出的对话框中输入角度 6  ，系统作出了 终边上的点 'B ； 4．选择“射线”工具，依次点击点 ',BC ，作出射线 'CB ； 5．选择“定长线段”工具，再选择点B，在对话框中输入长度３，得到定长线段BA； 6．拉动点 A到射线 'CB 上，用线段连结 AB． 探究发现，在拉动点 A到射线 'CB 上时，满足条件的点 A有两个点．换句话说，以B为圆心，线段连 结 AB为半径作圆，则此圆与射线 'CB 产生了两个交点．这样就得到了两个不同的三角形（如图 4.8-1），此 时满足条件的三角形有两解． 参照以上方法，读者可以继续对其他问题展开研讨． 【思考】 为什么给出的条件不同，所得三角形有的只有确定的一个解，有的会有两解呢？你能找到满足条件的 三角形不存在的情形吗？ 【探究问题 1】 首先来解决【思考】提出的第一个问题． 研究刚才提出的６个问题，发现问题（1）—问题（4）这４个问题根据题目所给条件，三角形的大小 图 4.8-1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 和形状都是确定的．因为它们分别给出的是三角形的“边角边”、“角边角”、“角角边”和“边边边”，对上面这 些提法是否感觉熟悉？没错，判定三角形全等时有过这样的提法．为什么能够用以上方法判定两个三角形 全等呢？原因就在于如果满足了全等判定条件，这样的两个三角形大小一样，形状相同，即它们全等了．借 助这些条件来解三角形，所得三角形也就是完全确定的．那为什么问题（5）和问题（6）对应的三角形就 不完全确定呢？ 首先注意问题（5），可以发现，它给出的条件是“边边角”，因为“边边角”无法判定三角形全等，也就没 办法完全确定一个三角形．至于问题（6），根据题目所给条件，只能得到这个三角形的三个内角大小是确 定的，也就是说这个三角形的形状是确定的，但题目并没有给出这个三角形的任何一条边，所以此时这个 三角形的大小不确定，满足条件的相似三角形有无数个． 【探究问题 2】 受【思考】启发，对问题（5）进一步