第7节 三角函数综合探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 7 节 三角函数综合探究 经过第６节的研讨，已经得到了函数 )sin(   xAy 图象，本节的任务就是研讨 )sin(   xAy 的 函数性质． 函数 )sin(   xAy 的一些常见性质不再逐一列举，而是通过一些典型案例对其性质进行综合研究． 【实验 1】 探求函数 )2 4 cos( xy   的单调递减区间． 【分析】 求 函 数 )2 4 cos( xy   的 单 调 递 减 区 间 时 ， 不 少 学 生 会 把 x2 4   视 为 一 个 角 度 ， 由   kxk 22 4 2 ， 求 出 88 3   kxk ， 从 而 得 到 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 )( 88 3 Z     kkk  ， ．这种处理方法正确吗？下面通过数学实验加以验证． 【探究步骤】 1．在 GGB 中作出函数 )2 4 cos( xy   的图象，很容易可以发现 )( 88 3 Z     kkk  ， 是它的 增区间，并非减区间，这是为什么呢？ 2．从复合函数的角度去分析这个问题：因为 )2 4 cos( xy   可视为 xtty 2 4 ,cos   的复合函数， 而 xt 2 4   是个减函数，按复合函数单调性“同增异减”的判断法则，要求 )2 4 cos( xy   的减区间，应 求 ty cos 的 增 区 间 ，  ktk 22  ， 即   kxk 22 4 2  ， 从 而 8 5 8 ,, 8 5 8   kxkkkxk Z又 ，所以函数 )2 4 cos( xy   的减区间为 )( 8 5 8 Z     kkk  ， ，这与 GGB 课件中的图象相符． 【拓展探究 1】 探求函数 xy cos2 4   的减区间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】 函数 xy cos2 4   可视为 xtty cos,2 4   的复合函数．若令 xxgxxf cos)(,2 4 )(   ，则 xy cos2 4   即是 ))(( xgfy  ，而 )2 4 cos( xy   是 ))(( xfgy  ，所以在研究复合函数单调性时， 要注意函数是如何复合而成的． 在 GGB 中作复合函数时，可先在指令栏内分别输入 )()( xgxf 和 的解析式，然后在指令栏输入 “ ))(( xgf ”得到复合函数 ))(( xgfy  的图象． 【实验 2】 已知函数 ) 6 2sin()(   xxf ，其中  ax ,0 ，若 )(xf 的值域是     1, 2 1 ，求实数a的取值范围． 【分析】 当 Rx 时，函数 )(xf 的最小值为 1 ，最大值为1，而函数 )(xf 在  a,0 的值域为     1, 2 1 ，说明这一 段函数图象，必须包含函数图象的最高点，但最低点对应的纵坐标不得小于 2 1 ． 【探究步骤】 1．在指令栏输入“函数 ],0),6/2[sin( apix  ”，在弹出的对话框中设置参数  5,0a ，增量为 1.0 ； 2．拉动滑杆a，观察当a在何范围时，命题成立． 经观察，大约当 15.0  a 时命题成立． 下面给出数学解答： 当  ax ,0 时，      6 2, 66 2  ax ，因为图象必须包含最高点，最低点对应的纵坐标不得小于 2 1 ， 故   6 5 6 2 2  a ，从而 36   a ，实验结果和准确答案比较吻合． 【拓展探究 2】 已知函数 )0)( 6 sin()(  xxf ，其中  1,0x ，若 )(xf 的值域是     1, 2 1 ，求实数的取值范围． 【分析】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 本例难度较大，研究时应抓住一个关键点：当 0x 时， 2 1 )0( f ，并注意到函数图象在起始段单调 递增这个特点（因为  1,0x 时， 6   xt 单调递增，而 ty sin 在     26  ， 单调递增），所以要寻求本 题答案，只需函数 )0)( 6 sin()( 