第6节 探究三角函数图象变换规律-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 6 节 探究三角函数图象变换规律 三角函数图象变换研究的是如何把 xy sin 等三角函数图象经过有限次的变换，得到 kxAy  )sin(  的函数图象．因其在变换过程中涉及多个变换，变换规律也较为复杂，所以是教学中 的一个难点．本节将在 GGB 的辅助下，实现这些难点的突破． 【实验 1】 为方便后面的研究，先完成本节课件的制作． 【探究步骤】 1．在“参数设置”的“高级”选项中，把角度单位改为弧度； 2．把直角坐标系横坐标的刻度间距改为 2  ； 3．在指令栏输入“如果 ])sin(,/)2(/[ kxAx   ”在弹出的对话框中分别设置参数 kA ,,,  ，其中    5,55,0  kA ，，，  ，增量均设置为 1.0 ，由此得到函数 )(xf 的图象，设置颜色为红 色，线形实线加粗； 4．在指令栏输入“如果 ]')''sin(','/)'2('/'[ kxAx   ”在弹出的对话框中分别设置参数 ',',',' kA  ，其中    5,5''5,0''  kA ，，，  ，增量均设置为 1.0 ，设置完毕后隐藏 ',',',' kA  对应 的滑杆，由此得到函数 )(xg 的图象，设置颜色为绿色，线形虚线加粗； 5．选择“输入框”工具，在绘图区空白处点击，在弹出的对话框中输入标题“ A ”，在关联对象中选择对 象 A，同样的方法，设置参数 ',',',',,, kAk  的输入框； 6．在 ',',',',,,, kAkA  的输入框中分别输入初始值１，１，０，０，１，１，０，０. 经过以上步骤，已经作出了函数  )2,0(sin)()(  xxxgxf 的图象，并且可以通过滑杆和输入框 改变参数的值，从而改变相应的图象，如图 4.6-1． 【说明】 1．步骤４隐藏 ',',',' kA  对应的滑杆，是因为在实验中把 )(xg 作为变换前的三角函数图象，其数值 可以通过输入框进行调整，这样比用滑杆调整更加准确，并且隐藏以上 4 根滑杆，可以避免和 kA ,,,  滑 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 杆混淆，引起误操作． 2．本例引入了“输入框”工具，输入框工具是能非常有效便捷地输入数值和文本的工具，设置时，记住 将输入值和对象进行关联，这样当输入框输入新的数值的时候，其关联对象就会随之改变．本例中，如果 调整了对应的滑杆，输入框中的数值也会随之改变，函数 )(xf 图象也随之改变，这就为研究图象变换创造 了条件． 【实验２】研究三角函数的图象变换 【探究问题 1】研讨 xAyxy sinsin  图象的变换过程 【探究步骤】 1．拉动滑杆 A，观察 A值的改变对函数图象产生的影响； 我们注意到，当 10  A 时，函数图象横向没有发生改变，但纵向被压缩了；当 1A 时，函数图象 横向没有改变，纵向被拉伸了．因此通常把 xAyxy sinsin  称为纵向的伸缩变换． 为了更精准地研究这个变换，继续以下探究： 2．在 )(xg 图象上任取一点M ； 3．在指令栏输入“ )))(*sin(*),(( kMxAMx  ”，得到点M 经过变换后所得的点 'M ，作出线段 'MM ； 4．再次拉动滑杆 A，可以更清楚地发现，在 A值改变的过程中， xAyxy sinsin  的变换将使 图 4.6-1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 得 xy sin 图象上每一个点横坐标不变，纵坐标变成原来的 A倍； 5．拉动点M ，也能发现无论点M 在什么位置，点M 和变换后对应点 'M 的坐标都符合上述关系． 在数学上，把 A称为函数 xAy sin 的振幅． xy sin 的振幅为１，那么上述变换把正弦函数的振幅 改变了．所以 xAyxy sinsin  也被称为振幅变换． 【思考】 本例研究过程中，已经预设了 0A ，请读者思考，如果 0A ，那图象变换又会有什么规律和特点？ 【探究问题 2】研讨 xyxy sinsin  图象的变换过程 【探究步骤】 1．拉动滑杆，观察值的改变，对函数图象产生的影响； 注意到，当 10  时，函数图象在纵向没有发生改变，但横向被拉伸了；而当 1 时，函数图象 在纵向没有发生改变，但横向被压缩了．因此通常把 xyxy sinsin  称为横向的伸缩变换． 为了更精准地研究这个变换，继续