第5节 三角函数性质的探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 5 节 三角函数性质的探究 以正弦函数为例，根据本章第 4 节【实验 1】所作函数图象，可以非常容易得到函数的定义域、值域、 最值、单调性、奇偶性、周期性、对称中心、对称轴等基本的性质，为方便行文，在此不再讨论．我们从 其他侧面对三角函数的性质作研讨． 【实验 1】 我们知道， xx cos) 2 sin(   ，如果把 xy sin 的图象向左平移 2  个单位，可以得到 ) 2 sin(   xy 的图象，即 xy cos 的图象． 那么，将 )sin(  xy 的图象平移，欲得到 xy cos 图象，常数 可以取哪些值呢？ 【探究步骤】 1．在“参数设置”的“高级”选项中，把角度单位改为弧度； 2．把直角坐标系横坐标的刻度间距改为 2  ； 3．创建参数 ，类型为角度，范围为  60， ，增量为 rad1.0 ； 4．作出函数 )sin(  xy 的图象，颜色设置为红色，线形为实线，并适当加粗； 5．作出函数 xy cos 图象，颜色设置为绿色，线形为虚线，适当加粗； 6．拉动滑杆 ，观察当常数 取哪些值的时候， )sin(  xy 的图象与 xy cos 图象重合，则这些  即为所求． 经观察，当 值约为 1.57，7.85，14.14 时，两图象近似重合．而 ， 2 57.1   2 5 85.7   ，  2 9 14.14  ．由 此，有理由猜想：将 )sin(  xy 的图象平移，欲得到 xy cos 图象，常数 可以取 Z kk , 2 2  ． 下面给出数学证明： （1）当 2 2   k 时， ) 2 sin() 2 2sin()sin(   xkxx xcos ； （2）若 ) 2 sin()sin(,cos)sin( xxxx   则 故 Z kkxxkxx ,2) 2 ()(,2 2  或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 由  kxx 2 2  得 Z kk ， 2 2 由 Z kkxx ,2) 2 ()(  对任意的 Rx 恒成立，无法求得满足条件的定值角 ． 综合（1）（2）得，当且仅当 2 2   k )( Zk 时， )sin(  xy 的图象与 xy cos 图象重合． 【实验 2】 如果 )0, 6 (  A 是函数 )tan(  xy 图象的一个对称中心，求所有满足条件的常数 的值． 【分析】 注意到正切函数 xy tan 图象是中心对称图形．其对称中心有两种类型，一是正切曲线与 x轴的交点 ))(0,( Zkk ，二是图象隔线 )( 2 Z kkx  与 x轴的交点 ))(0, 2 ( Z kk  ，综合两种情形，对称 中心的坐标可表示为 ))(0, 2 ( Zk k ． )tan(  xy 的图象是由 xy tan 图象平移得到的．所以可以通过研究两者的关系，找到答案． 【探究步骤】 1．在“参数设置”的“高级”选项中，把角度单位改为弧度； 2．把直角坐标系横坐标的刻度间距改为 2  ； 3．创建参数 ，类型为角度，范围为  60， ，增量为 rad1.0 ； 4．作出点       0 6 ，  A ，并把点 A设置为绿色，加粗； 5．作出函数 )tan(  xy 的图象，颜色设置为红色，线形为实线，并适当加粗； 6．拉动滑杆 ，认真观察 )tan(  xy 图象与 x轴交点与点 A重合时的 值； 7．再次拉动滑杆 ，认真观察 )tan(  xy 图象隔线经过点 A时的 值； 8．以上两类 值都符合本实验的要求． 经观察，可以得到  60， 内满足条件的 大约等于 9.8,76.5,62.2 76.16,61.13,47.10,33.7,19.4,33.18,18.15,04.12 ，把上述数据转化为以 为单位，约为 ，，，，  33.2,33.1,83.5,83.4,83.383.283.183.0  33.5.33.433.3 ， ．由此，得到满足条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 的 约为 )( 2 83.0 Z k k ．下面用数学方法给出证明： 由上述研讨，得 xy tan 图象的对称中心