第4节 GGB视角下的三角函数图象探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 4 节 GGB 视角下的三角函数图象探究 所谓三角函数，特指 ),(cos),(sin RR  xxyxxy ), 2 (tan Z kkxxy  这三个函数． 前３节重点研究了三角运算，本节将重点研究它们的图象和性质，并在此基础上，试图将其拓展到余 切函数、正割函数和余割函数． 【实验 1】正弦函数图象的生成 本章第１节，已经研究了如何在单位圆中定义任意角的三角函数．根据定义，在平面直角坐标系 xOy中， 以坐标原点为角 的顶点， x轴非负半轴为角 的始边，根据角 的大小，作出它的终边．设终边与单位 圆 122  yx 相交于点 ),( 00 yxP ，作PM 垂直 x轴于点M ，设角 的终边（或终边的反向延长线）与过 点 )01( ，A 作 x轴的垂线相交于点T ，定义有向线段MP为正弦线，有向线段OM 为余弦线，有向线段 AT 为 正切线．从几何直观看，有向线段MP的数量即为角 的正弦值，从代数层面看， 0sin y ． 根据以上结论，容易得到正弦函数图象的典型作法． 【方案 1】 从代数层面看，正弦函数 xy sin 建立起的是角度和正弦值之间的一种对应关系．对于任意角度 x， 都对应于它的正弦值 xsin ．从这里入手，可以这样构建正弦函数图象． 【探究步骤】 1．在“参数设置”的“高级”选项中，把角度单位改为弧度； 2．把直角坐标系横坐标的刻度间距改为 2  ； 3．创建参数 ，类型为角度，范围为  4,0 ，增量为 rad1.0 ； 4．在指令栏内输入“  )sin(,  ”，得到点 )sin,( A ； 5．跟踪点 A； 6．拉动滑杆 ，观察随着角度 的改变，点 A轨迹的变化； 7．单击工具栏中的“轨迹”工具，然后依次单击点 A和滑杆 ，得到  )4,0(sin  xxy 的图象． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 除了以上方法，还可以在指令栏输入“缓慢绘制 )][sin(x ”的方法，直观得到它的图象．这种作正弦函数 图象的方法，虽然可以直观展示正弦曲线的生成过程，但由于缺少和几何的必然联系，因而显得比较抽象． 【方案２】 如果能够把正弦线引入到作图中，将更加直观，也更容易让学生理解和接受． 【探究步骤】 1．在“参数设置”的“高级”选项中，把角度单位改为弧度； 2．把直角坐标系横坐标的刻度间距改为 2  ； 3．创建参数 ，类型为角度，范围为  4,0 ，增量为 rad1.0 ； 4．在指令栏输入“ 12^2)^2(  yx ”，作出以 )0,2(B 为圆心，1 为半径的单位圆，作出圆上的定 点 )0,1(A ，并将其锁定； 5．选择“定值角度”工具，然后依次选择点 BA, ，在弹出的对话框中，把角度设定为 ，作出终边 'OA ； 6．作出正弦线 'EA ； 7．在指令栏输入“ ))sin(,(  ”得到点C，跟踪点C； 8．作有向线段DC ，使有向线段DC 等于正弦线 'EA ； 9．用虚线连结 CA' ，这样就有了把正弦线 'EA 平移到有向线段DC 的感觉； 10.拉动滑杆 ，这样就得到了随着 的改变，角 的正弦线的变化情况，并把正弦线平移到了直角坐 标系中，做出  )4,0(sin  xxy 的图象． 【说明】 无论是【方案 1】还是【方案２】，都选择作函数 xy sin 在  4,0 的图象，而不是  2,0 的图象，意 在展示 xy sin 图象的周期性．事实上， xy sin 的定义域为R ，如果想得到完整的正弦曲线，直接在指 令栏输入“ )sin(xy  ”即可，它将是一条以 2 为周期的向左向右无限延伸的曲线． 【拓展探究 1】 参照正弦曲线的作图思路，作出余弦函数 xy cos 的图象．在作图的过程中，余弦线恰好在 x轴上， 如何让余弦线能够像【实验 1】【方案２】的正弦线一样，能够“站立”起来呢（因为如果没能“站立”起来， 就无法平移到坐标系中去用于作图）？读者可以自己设法解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【实验 2】正切函数图象的生成 在作正切函数图象之前，首先打开课件“4-1 实验 3”，请关注一个事实：当拉动点P从点 A出发，按逆 时针方向旋转，当角度 越来越接近 2  时，正切线的长度增长非常迅速，观察右上方的 tan 值，可以发 现其数值急剧增大．当 2   时，角 的终边将与直线 1x 平行，此时正切线不存在，这意味着 2 