第3节 探究两角和与差的三角函数-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 3 节 探究两角和与差的三角函数 从上节的探究实验中发现：   cos)2cos(,sin) 2 3 cos( ,cos)cos(,sin) 2 cos(   以上公式有什么规律呢？对于任意的 R， ， )cos(   与 ， 的三角函数值又有什么关系 呢？ 根据经验，首先猜想：  coscos)cos(  是否成立？如果成立，作为公式，它将很容易被记 忆． 取 2  ＝＝ ，则 10cos)cos( ＝  ，而 0coscos   ，等式显然不成立． 【实验 1】探究两角差的余弦公式 【方案 1】 用单位圆上点的坐标表示角的三角函数是一种十分便捷的方法，从单位圆入手，尝试着作出角 ， ，   ，然后寻求它们之间的关联． 【探究步骤】 1．设置精确度为小数点后 5 位； 2．取单位圆 122  yx 与 x轴正半轴的交点 A； 3．在单位圆上任取一点P，并设 ＝POA ； 4．取参数 类型为角度，范围为  20， ，增量取 1.0 ； 5．以OP为始边，用“定值角度”工具，作出  OPP' ．若设 ＝OAP' ，则   ； 6．作向量 'OPOP， ，则   分别为 'OPOP， 的夹角； 7．由此想到 )()'()()'( ' ' )cos( PyPyPxPx OPOP OPOP      ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 8．在 GGB 中计算 )()'()()'()cos( PyPyPxPx  和 的值； 9．拉动滑杆 ，检验 )()'()()'()cos( PyPyPxPx  和 是否相等； 10.拉动点P，检验 )()'()()'()cos( PyPyPxPx  和 是否相等． 如图 4.3-1 所示，无论是拉动点P还是滑杆 （拉动点P说明了角 的任意性，拉动滑杆 说明了角   的任意性，从而说明了角 的任意性）， )()'()()'()cos( PyPyPxPx  和 总是相等． 因此，对于任意的角 ， 都有  sinsincoscos)()'()()'()cos(  PyPyPxPx 【方案 2】 如图 4．3-1 所示，连结 'PP ，则在 'OPP 中，若   POAOAP ,' ，则   OPP' ，由余 弦定理得： )cos('2'' 222   OPOPOPOPPP 考虑到 1'),sin,(cos),sin,(cos'  OPOPPP  ，得 )cos(22)sin(sin)cos(cos 22   整理得：  sinsincoscos)cos(  ． 【思考】 图 4.3-1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 你能模仿【实验 1】的探究思路，推导出 )cos(   的公式吗？ 【实验 2】探究两角和的正弦的几何解释 由【实验 1】得知  sinsincoscos)cos(  ，从而得到一种求解 )sin(   较为便捷的 方法：    sincoscossin sin) 2 sin(cos) 2 cos( )) 2 (cos)( 2 cos)sin(            下面探究以上公式的几何解释，虽然这些公式对于任意的角 ， 都成立，但为了方便研究，假设 ， 为锐角，且 2   ． 【探究步骤】 1．取单位圆 122  yx 与 x轴正半轴的交点 A； 2．在单位圆上任取一点B，并设 ＝BOA ； 3．取参数 类型为角度，范围为  20， ，增量取 1.0 ； 4．以OB为始边，用“定值角度”工具，作出  OBB' ，则   ＝OAB' ； 5．作 xGB ' 轴于G，则 )sin('  GB ； 6．作 OBEB ' 轴于E，则  cossin'  OEEB ， ； 7 ．作 GBEH ' 轴于 H ，因为 OBEB ' ， xGB ' 轴，所以  BOAHEB' ，则  cossincos''  EBHB ； 8．在矩形EHGF 中，  sinc