第2节 GGB视角下的诱导公式探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 2 节 GGB 视角下的诱导公式探究 在上一节的研究过程中，已经发现： 2 1 6 5 sin 6 sin   ．如果继续往下探究，还可以发现： 2 3 3 2 sin 3 sin   ； 2 2 4 3 sin 4 sin   ．类似的： 2 1 3 2 cos, 2 1 3 cos   ； 2 2 4 3 cos, 2 2 4 cos   ； 2 3 6 5 cos, 2 3 6 cos   ． 研究以上式子发现：如果两个角 ， 满足   ，那么它们同名三角函数值要么相等，要么互为 相反数．这是一个偶然的结果，还是必然的结论呢？下面对此展开研究． 【实验 1】研究 与   三角函数值的关系 为问题研究方便，首先考虑 为锐角的情形．此时若   ，则 、 的终边关于 y轴对称． 【探究步骤】 1．把角度的度量单位改为弧度； 2．在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为角 的顶点，x轴非负半轴为角 的始边，作出锐角 的 终边．设终边与单位圆 122  yx 在第一象限的圆弧交于点P，角 的终边（或终边的反向延长线）与过 点 )01( ，A 作 x轴的垂线相交于点T ，作正弦线MP，余弦线OM ，正切线 AT ； 3．选择“轴对称”工具，然后依次点击点P和 y轴，得到点P关于 y轴的对称点 'P ，作出射线 'OP ， 则 'OP 是角 的终边； 4．过 'P 作 ''MP 垂直 x轴于点 'M ，仿步骤 2，作角（即角   ）的正弦线为 ''PM ，余弦线 'OM ， 正切线 'AT ； 5．拉动点P，观察角 和角   三角函数线的关系． 可以发现，无论点P如何运动，角 和角   的正弦线总是方向相同，长度相等；余弦线总是方向 相反，长度相等；正切线总是方向相反，长度相等．从而验证了当 为锐角时，  tan)tan(,cos)cos(,sin)sin(  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．作出单位圆 122  yx ，把点P从第一象限的圆弧脱离，然后附着到圆 122  yx 上； 7．再次拉动点P ,发现无论点P在哪个位置，角 和角   的终边总是关于 y轴对称．从而得到以 上公式对于任意的角 都成立． 【拓展探究 1】 类似的，角 与角   的终边有什么关系？它们的三角函数值又有什么关系？ 【拓展探究 2】 类似的，角 与角  的终边有什么关系？它们的三角函数值又有什么关系？ 【实验 2】研究 与   2 同名三角函数值的关系 初中的学习，让我们了解了：  60sin30cos,60cos30sin  ．那么是不是任意的角 ， ，只需 满足 2   ，则必有  cossin  ，  sincos  呢？ 【分析】 为方便问题研究，先研究角 为锐角的情形． 注意到当角 为锐角时，若 2   ，则角 ， 的终边关于直线 xy  对称．若角 的终边与单 位圆 122  yx 相交于点 ),( yxP ，则角 ）（即   2 的终边与单位圆 122  yx 相交于点 ),(' xyP ．由 此 ) 2 cos(sin,) 2 cos(,sin   yy ，同理 ) 2 sin(cos   ． 下面探究对于任意的角 ，以上公式是否恒成立．即探究对于任意的角 ，   2 与 的终边是否总 是关于直线 xy  对称． 【探究步骤】 1．把角度的度量单位改为弧度； 2．设定参数 ，类型为角度，范围为  6280， ，增量为１； 3．作单位圆 122  yx ，并作出它与 x轴正半轴的交点 A； 4．点击“定值角度”工具，然后依次点击点 OA, ，在弹出的对话框中设定角度为 ，作出角 的终边， 并作出终边与单位圆的交点P； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 5．点击“定值角度”工具，然后依次点击点 OA, ，在弹出的对话框中设定角度为   2 ，作出角   2 的终边，并作出其终边与单位圆的交点 'P ； 6．作出直线 xy  ． 拉动滑杆 ，观察： （1）对于任意的角 ，   2 与 的终边是否总是关于直线 xy  对称； （2）若设点P的坐标为 ),( yxP ，则 'P 的坐标是否为 ),('