第1节 三角函数定义及同角三角函数关系验证-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第四章 实验视角下的函数研究（下） 从从属关系看，三角函数属于函数范畴．但它又有其特殊性，因此开设独立章节，专题对它的运算、 图象及其性质展开研究． 第 1 节 三角函数定义及同角三角函数关系验证 在初中阶段学习了锐角的三角函数定义．以锐角 为直角三角形的一个内角，则 对边 邻边 ， 邻边 对边 ， 斜边 邻边 ， 斜边 对边   cottancossin ． 根据这个定义，我们提出了这样的疑问：如果锐角 的大小没有改变，而改变了它所在的直角三角形 的大小，对应的三角函数值会发生改变吗？如果会，这样的定义就是不合理的，三角函数值的计算也是不 可行的．下面，验证这个疑问． 【实验 1】锐角三角函数定义合理性的验证 【探究步骤】 1．在 GGB 中点击“参数”工具，设定参数 ，把参数类型设置为“角度”，范围设置为 ]900[ ， ； 2．在 x轴正半轴任取一点 A，并作出坐标原点O； 3．点击“定值角度”工具，然后依次点击点 OA, ，在弹出的对话框中，设定角度为 ，GGB 将作出满 足条件的角 终边上一点 'A ； 4．作出射线 'OA ； 5．在射线 'OA 上取一点C，过点C作CD垂直 x轴于D； 6．隐藏多余元素，作出 OCDRt ； 7．设定精确度为“保留５位小数”，测量边 CDOCOD ,, 的长度； 8．计算 CD OD OD CD OC OD OC CD ，，， 的值，设置颜色为红色； 9．拉动点C，改变 OCDRt 的大小．注意到，只要角 的大小没有改变， CD OD OD CD OC OD OC CD ，，， 都没 有改变． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【说明】 步骤３中的“定值角度”，可以使得所作的角和滑杆对应的参数 相等，也可以根据需要作出诸如 30 2 2  ，， 之类的角． 【思考】 本例为什么不直接过点 'A 作 x轴的垂线，而要在射线 'OA 上任选一点C来作垂线呢？ 通过本例的探究说明： CD OD OD CD OC OD OC CD ，，， 这些比值只与角 的大小有关，而与 OCDRt 的大小无 关．由此，可以认定这样定义锐角的三角函数值是合理的． 【实验 2】验证坐标法定义三角函数的合理性 高中阶段，为了满足研究三角函数的需要，引入了任意角三角函数的定义．因为角度的任意性，已经 无法在直角三角形中定义三角函数，因此，教材引入了任意角三角函数的坐标法定义． 在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为角 的顶点，x轴非负半轴为角 的始边，根据角 的大小， 作出它的终边．在终边上任取异于原点的任意一点 ),( yxP ，并设 rOP  ，定义： y x x y r x r y   cottancossin ，，， ． 特别地，如果取点P为终边与单位圆 122  yx 的交点，则 y x x y xy   cottancossin ，，， ． 对于任意角三角函数的坐标法定义，以下两点是存疑的： （1）坐标法定义的三角函数对于锐角 ，其数值与【实验 1】的相应数值相等吗？如果不是，则坐标 法定义就失去其合理性； （2）如果在任意角 的终边上取两个不同点，其计算结果一致吗？ 给出以下探究： 【探究步骤】 首先验证存疑点（1）：在【实验 1】所作课件的基础上，作以下修改： 1．在锐角 终边OC 上任取一点P，并测量距离OP，设之为 r； 2．在指令栏内输入“ rPy /)( ”，得到测量值，并把它的名称改为“ sin ”； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 3．点击代数栏中的 sin 计算结果不放，把它拉到算式 OC CD 的边上，设置颜色为蓝色，以方便比对； 4．用同样的方法，求出  cot,tan,cos 的值，并逐一放置到对应式子的边上； 5．拉动滑杆 ，改变角度 的大小，观察角 改变的过程中，两种定义所得的相应三角函数值是否总 是相等． 观察发现，无论锐角 为何值，这两种定义相应的三角函数值总是相等的． 对于存疑点（2）的验证比较简单，拉动点P，使之在终边上自由移动，移动过程中，注意观察角 的 三角函数值是否发生改变． 观察，点P移动过程中，角 的三角函数值并未发生改变，这说明角 的三角函数值只与角 的大小 有关，而与终边上所取的点P的位置无关，从而证明了利用单位圆定义三角函数的合理性． 我们从代数层面验证了应用坐标法定义任意角三角函数的合理性．下面给出任意角三角函数的几何直 观表示