第10讲 圆与圆的位置关系（5大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 圆与圆的位置关系（5大考点） ( 考点 考向 ) 一、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含,如图所示： 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离——没有公共点，两圆相切——有惟一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点. 2．圆与圆位置关系的判断 （1）几何法 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相离 0 两圆内含 两圆相交 2 两圆内切 1 两圆外切 其中和分别是圆和圆的半径, . （2）代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2 1 0 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交. 外切或内切 相离或内含 【微点拨】通过两圆的位置关系可以求某待定参数的值时，要关注两圆相离时的外离与内含，相切时的内切与外切. ( 技巧 方法 ) 1.判断圆与圆的位置关系 判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆连心线的长，若，两圆外切；时，两圆内切；时，两圆外离；时，两圆内含；时，两圆相交． 根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径长的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况． 2.两圆的公共弦问题 （1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数． （2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解． 3.两圆相切问题 处理两圆相切问题时，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径长之差的绝对值（内切时）或两圆半径长之和（外切时）． 4.过两圆交点的圆的方程 求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径长；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样会使运算简洁． 过两圆和交点的圆系方程：（其中不含有圆，因此注意检验圆是否满足题意以防漏解）． 当时，方程变为，表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在；当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线）． ( 考点 精讲 ) 考点一：判断圆与圆的位置关系 1.圆：与圆：（，）的位置关系为（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论 【详解】解：圆：的圆心，半径为， 由，得， 所以圆的圆心为，半径， 所以， 因为（），所以，所以 所以两圆相交． 故选：A 2.已知两圆：，，判断圆与圆的位置关系． 【解析】方法一：把圆的方程化为标准方程，得．所以圆的圆心坐标为，半径长． 把圆的方程化为标准方程，得．圆的圆心坐标为，半径长． 圆和圆的圆心距，又圆与圆的两半径长之和是，两半径长之差是． 而，即，所以，两圆的位置关系是相交． 方法二：将两圆的方程联立得到方程组，由得（3）， 由（3）得，把此式代入（1），并整理得（4）， 方程（4）的判别式， 所以，方程（4）有两个不相等的实数根，把分别代入方程（3），得到． 所以，圆与圆有两个不同的公共点，即两圆的位置关系是相交． 3.试分别确定圆C1：与C2：外切、内切、相交、内含、外离时，k的取值范围． 【解析】将两圆的一般方程化为标准方程， C1：，C2：． 圆C1的圆心坐标为C1（–2，3），半径长r1=1； 圆C2的圆心坐标为C2（1，7），半径长r2=（k<50）． 从而圆心距d==5． 当两圆外切时，，即1+=5，解得k=34； 当两圆内切时，，即|1–|=5，解得k=14； 当两圆相交时，，即|1–|<5<1+， 解得14<k<34； 当两圆内含时，，即|1–|>5，解得k<14； 当两圆外离时，，即1+<5，解得34<k<50． 考点二：求两圆的交点坐标 一、单选题 1．（2021·全国·高二课时练习）圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（       ） A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x